मान लीजिए कि ????(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए :
(a) ???? एकैकी आच्छादक है
(b) ???? बहुएक आच्छादक है।
(c) ???? एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) ???? न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Answers
Given : R￫R; f (x) = 3x द्वारा परिभाषित है
To find : सही उत्तर का चयन कीजिए
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
f(x) = 3x
f(x₁) = 3x₁
f(x₂) = 3x₂
f(x₁) = f(x₂)
=> 3x₁ = 3x₂
=> x₁ = x₂
=> प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
f(x) = y y ∈ R
3x = y
=> x = y/3
f(x) = 3x
= 3(y/3)
= y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) है
फलन एकैकी आच्छादक है
(a)
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