मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, ????(n)={ (n+1)/2,यदि n विषम है
{ n/2 , यदि n सम है द्वारा परिभाषित फलन ???? : N￫N है।बताइये कि क्या फलन ???? एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।
Answers
Given : समस्त n ∈ N के लिए f(n) = (n+1)/2 यदि n विषम है , n/2 , यदि n सम है N￫N
To find : बताइये कि क्या फलन एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
N￫N
f(n) = (n+1)/2 यदि n विषम है ,
n/2 , यदि n सम है
f(1) = ( 1 + 1)/2 = 1 1 विषम है
f(2) = ( 2/2 ) = 1 2 सम है
1 = 1
=> f(1) = f(2)
नहीं परन्तु 1 ≠ 2
=> प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य नहीं परन्तु है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) नहीं है
विषम है
y = (n + 1)/2
=> 2y = n + 1
=> n = (2y - 1)/2
सम है
y = n/2
=> n = 2y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) है
फलन आच्छादक (surjective ) है परन्तु फलन एकैक (Injective) नहीं है
=> फलन एकैकी आच्छादी ( bijective) नहीं है
और सीखें :
निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच
https://brainly.in/question/16549721
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
brainly.in/question/16549217
फलन R⟶R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है,
https://brainly.in/question/16550005
f(x) = (1/x) द्वारा परिभाषित फलन R. → R. एकैकी तथा आच्छादक है,
https://brainly.in/question/16549723