Question

मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि
(ii) (A-1)-1 = A

Answer 1

Given :     A = $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

To Find : सत्यापित कीजिए  (adj A)⁻¹ = adj (A⁻¹)

Solution:

A = $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

A⁻¹  = (adj A) / | A|

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

मान | A | = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃ - a₃₂ * a₂₃) - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃) + a₁₃(a₂₁*a₃₂  - a₃₁ * a₂₂)

| A |  = 1 ( 15 - 1) + 2(-10 - 1) + 1(-2 - 3)

=> | A |  = 14 - 22 - 5

=>  | A |  =  - 13

AdjA = $\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & a_{32}\\A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}$

A₁₁  =  14

A₁₂=   11

A₁₃ = -5

A₂₁ = 11

A₂₂ =  4

A₂₃=  -3

A₃₁  =  -5

A₃₂ =   -3

A₃₃ =  1

AdjA =   $\begin{bmatrix} 14& 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 &-3 & -1 \end{bmatrix}$

 

A⁻¹ = (-1/13)$\begin{bmatrix} 14& 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 &-3 & -1 \end{bmatrix}$

|  A⁻¹ |  = (-1/13)³ (  14 *(-13) - 11(-26) - 5(-33 + 20)

=> |  A⁻¹ |  =   (-1/13)² (14  - 22 - 5)

=>  |  A⁻¹ |  =  - 1/13

( A⁻¹ )⁻¹  = adj (A⁻¹) / | A⁻¹ |

( A⁻¹ )⁻¹  =   $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ = A

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