Question

सिद्ध कीजिए कि $\begin{bmatrix} a2 & bc & ac+a2 \\ a2+ab & b2 & ac \\ ab & b2+bc & c2 \end{bmatrix}$ = 4a2b2c2

Answer 1

Given :     $\begin{bmatrix} a^2 & bc & ac+c^2 \\ a^2+ab & b^2 & ac \\ ab & b^2+bc & c^2 \end{bmatrix} = 4a^2b^2c^2$

To Find :  सिद्ध कीजिए  

Solution:

LHS =

$\begin{bmatrix} a^2 & bc & ac+c^2 \\ a^2+ab & b^2 & ac \\ ab & b^2+bc & c^2 \end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix} a\times a & bc & c(a+c) \\ a(a + b) & b\times b & ac \\ ab & b(b+c) & c\times c \end{bmatrix}$

=  $abc \begin{bmatrix} a & c & a+c \\ a + b & b & a \\ b & b+c & c \end{bmatrix}$

C₁ → C₁ - C₂ - C₃-

=  $abc \begin{bmatrix} -2c & c & a+c \\ 0 & b & a \\ -2c & b+c & c \end{bmatrix}$

=  $abc(-2c) \begin{bmatrix} 1 & c & a+c \\ 0 & b & a \\ 1 & b+c & c \end{bmatrix}$

R₃ → R₃ - R₁

= $abc(-2c) \begin{bmatrix} 1 & c & a+c \\ 0 & b & a \\ 0 & b & -a \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

मान | A | = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃ - a₃₂ * a₂₃) - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃) + a₁₃(a₂₁*a₃₂  - a₃₁ * a₂₂)

= abc(-2c) ( 1 ( -ab - ab) - c(0 - 0 ) + (a + c)(0 - 0) )

= abc (-2c) ( - 2ab)

= 4a²b²c²

= RHS

QED

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