निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) ???? (x) = x² द्वारा प्रदत्त ???? : N → N फलन है।
(ii) ????(x) = x² द्वारा प्रदत्त ???? : Z → Z फलन है।
(iii) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त ???? : R → R फलन है।
(iv) ???? (x) = x³ द्वारा प्रदत्त ???? : N → N फलन है।
(v) ???? (x) = x³ द्वारा प्रदत्त ???? : Z → Z फलन है।
Answers
Step-by-step explanation:
दिया है, f ( x ) = x2 और f : N → N (a) f( x1) = f(x2) ⇒x12 ⇒ x1 = x2 , ⇒ x1 = x2 ∈ N f एकैकी है। (b) परन्तु सहप्रान्त में ऐसे कुछ अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। उदाहरणार्थ : माना 3 सहप्रान्त में है तो 3 प्रान्त के किसी भी अवयव को प्रतिबिम्ब नहीं होगा। ∴ f आच्छादक नहीं है। अत: f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है। (ii) f(x) = x2 f : Z → Z , जबकि f (x) = x2 (a) f (-1) = f (1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। ∵ प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f-प्रतिबिम्ब 1 पर है। ∵ प्रतिबिम्ब समान है। ∴ f एकैकी नहीं है। (b) सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव में प्रतिबिम्ब नहीं हैं। उदाहरणार्थ-3 सहप्रान्त में है, परन्तु 3 प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। ∴ f आच्छादक नहीं है। अत: f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है। (iii) f : R → R, यदि f(x) = x2 (a) (-1)2 = (1)2 = f (-1) = f(1) अतः -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f- प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रतिबिम्ब समान है, ∴ f एकैकी नहीं है। (b) -2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। अत: f आच्छादक नहीं है !
Given : f(x) = x² द्वारा परिभाषित फलन N → N
To find : एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
N → N
f(x) = x²
f(x₁) = x₁²
f(x₂) = x₂²
f(x₁) =f(x₂)
=> x₁² = x₂²
=> x₁ = ± x₂ N केवल +ve
=> x₁ = x₂
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective)
y = f(x) y ∈ N
=> y = x²
x² = y
=> x = ±√y
y = 2
=> x = √2 ∉ N
प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व नहीं है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) नहीं है
=> f(x) = x² द्वारा परिभाषित फलन N → N एकैकी है परन्तु आच्छादी नहीं है
और सीखें :
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
brainly.in/question/16549217
सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
f(x) = (1/x) द्वारा परिभाषित फलन R. → R. एकैकी तथा आच्छादक है,
https://brainly.in/question/16549723