मान लीजिए कि X Y – तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = { (L₁,L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है। रेखा y = 2 x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Answers
Step-by-step explanation:
दिया है, L किसी X Y- तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय है। तथा R = { (L1, L2) : L1 समान्तर है L2 के } (i) 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा अपने आप के समान्तर है। 2. R सममित है, यदि L1 रेखा, L2 के समान्तर है तो L2 रेखा, L1 के भी समान्तर होगी। 3. R संक्रामक है, यदि L1, L2 और L2, L3 समान्तर रेखाएँ हैं तो L1और L3 भी समान्तरे रेखाएँ होंगी। अतः 1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है। इति सिद्धम् (ii) माना y = 2x + c, जबकि c का मान कुछ भी हो सकता है। अतः y = 2x + 4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c है।
Given : X Y – तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = { (L₁,L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है।
To find : सिद्ध कीजिए कि परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
यदि संबंध R स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक हो => सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध
R = { (L₁,L₂) : L₁, || L₂},
L₁ || L₂
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R
( L₁,L₁)) ∈ R ∵ L₁ || L₁
=> प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
=> संबंध स्वतुल्य है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(L₁ , L₂ ) ∈ R => L₁ || L₂ => L₂ || L₁ => ( L₂, L₁) ∈ R
=> समस्त a , b ∈ A के लिए (a, a) ∈ R से (b , a ) ∈ R प्राप्त
=> संबंध सममित है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
(L₁ , L₂ ) ∈ R => L₁ || L₂
( L₂ , L₃) ∈ R => L₂ || L₃
=> L₁ || L₃
=> (L₁ , L₃ ) ∈ R
समस्त a , b . c ∈ A के लिए (a , b) ∈ R तथा (b , c) ∈ R से (a , c ) ∈ R प्राप्त
=> संबंध संक्रामक है
सम्बन्ध R = { (L₁,L₂) : L₁, || L₂}, स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक है => सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है
रेखा y = 2 x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c
और सीखें :
निर्धारित कौजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा
संक्रामक हैं:
brainly.in/question/16549219
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
brainly.in/question/16549217
सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
brainly.in/question/16549213
https://brainly.in/question/16549220