Question

सिद्ध कीजिए कि ????(x) = (1/x) द्वारा परिभाषित फलन ???? : R. → R. एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R. सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त R. को N से बदल दिया जाए, जबकि सहप्रांत पूर्ववत R. ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?

Answer 1

Step-by-step explanation:

(i) दिया है, f(x) = 1/x यदि f(x1) = f(x2) ⇒ 1/x1= 1/x2 x1 = x2 अत: प्रान्त के प्रत्येक अवयव का एक ही प्रतिबिम्ब है। अतः f एकैकी फलन है। (ii) दिया है, ye y = 1/x x = 1/y y ≠ 0 सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त में क्रमश: एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है। ∴ f आच्छादक फलन है। ∴ f एकैकी व आच्छादक फलन है। (b) यदि प्रान्त R को N से बदल दिया जाता है तब सहप्रान्त R वही रहे तो f : N → R जब f (x1) = f(x2) ⇒ 1/x1 = 1/x2 x1 = x2 ∈ N ⇒ f एकैकी है। परन्तु सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के अवयव का प्रतिबिम्ब न हो। इस प्रकार f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

Answer 2

Given : f(x) = (1/x)  द्वारा परिभाषित फलन R. → R.  एकैकी तथा आच्छादक है,  R. सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

To find :  सिद्ध कीजिए कि फलन R. → R.  एकैकी तथा आच्छादक है

Solution :

एकैकी  (one-one)   अथवा एकैक  (injective)  फलन   यदि प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की   x₁  =  x₂

अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है

आच्छादक  (onto ) अथवा आच्छादी  (surjective)  फलन   यदि  प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

 एकैकी तथा  आच्छादक (one-one and onto )  => एकैकी आच्छादी  ( bijective)  -(injective and surjective)

 

R. → R.  

f(x₁) = 1/x₁

f(x₂) = 1/x₂

f(x₁)  =f(x₂)

=> 1/x₁ = 1/x₂

=> x₂ = x₁

प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की   x₁  =  x₂

=> फलन एकैकी

y = f(x)  y ∈ R.

=> y = 1/x

=>x = 1/ y

y ≠ 0

=> x संभव है

y = f(x)

=> f(x) = y

=> f(x) = f(1/y)

= > f(x) = 1/(1/y)

=> f(x) = y

प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

=>  फलन  आच्छादक

=>  f(x) = (1/x)  द्वारा परिभाषित फलन R. → R.  एकैकी तथा आच्छादक है

इतिसिद्धम

और सीखें :

निर्धारित कौजिए कि क्‍या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं:

brainly.in/question/16549219

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

brainly.in/question/16549217

सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।