Question

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए: $\left( 9x - \dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$, $x \neq 0$ के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Answer 1

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए: $\left( 9x - \dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$, $x \neq 0$ के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए

जैसा कि हम जानते हैं ,

द्विपद प्रमेय ${(x + y)}^{n} = ^nC_0 {x}^{n} {y}^{0} + ^nC_1 {x}^{n - 1} {y}^{1} ... + ^nC_n {x}^{0} {y}^{n}$

13वाँ पद :
$^{18}C_{12} \: {(9x)}^{6} { (- \frac{1}{3 \sqrt{x} }) }^{12} \\ \\ = \frac{18!}{12! \: 6!} \times ( {9)}^{6} {x}^{6} \times \frac{1}{( {3})^{12} {( \sqrt{x} )}^{12} } \\ \\ = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13\times 12!}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 12!} \times {(3)}^{12} {x}^{6} \times \frac{1}{ {3}^{12} \times {x}^{6} } \\ \\ = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14\times13}{5 \times 4 \times 2} \\ \\ = 17 \times 14 \times13\times2 \times 3 \\ \\ = 18564$
13वाँ पद :18564

Answer 2

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution-$

हल:-

दिए के प्रसार में 13 वाँ पद

$T_{12 + 1} = {}^{18} c_{12} \times (9x) {}^{18 - 12} \{ - \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \} {}^{12} \\ \\ \\ \implies \: {}^{18} c_{(18 - 12)} \times (9x) {}^{6} \{ \frac{1}{ {3}^{12} \times {x}^{6} } \} \\ \\ \\ \implies \: {}^{18} c_6 \times {9}^{6} \times {x}^{6} \times \frac{1}{ {9}^{6} \times {x}^{6} } \\ \\ \\ \implies \: {}^{18} c_6 \\ \\ \\ \implies \: \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ \\ \\ \implies \: 3 \times 17 \times 4 \times 7 \times 13 \\ \\ \\ \implies \: 18564$