Question

निम्नलिखित प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए: $\left( 3 - \dfrac{x^3}{6}\right)^7$

Answer 1

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \underline{Solution - }$

यहां n = 7 एक विषम संख्या है अतः प्रसार में दो मध्य पद होगा

पहला मध्य पद = n+1 / 2 वाँ पद

$\implies \bf \: \frac{7 + 1}{2} \: = 4$ वाँ पद

$\implies \bf \: T_{3 + 1} = {}^{7} c_3 \times {3}^{7 - 3} ( - \frac{x {}^{3} }{6} {)}^{3} \\ \\ \\ \implies \bf \: - {}^{7} c_3 \times {3}^{4} \times \frac{ {x}^{9} }{ {6}^{3} } \\ \\ \\ \implies \bf \: - \frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} \times 81 \times \frac{ {x}^{9} }{216} \\ \\ \\ \implies \bf \: - \frac{105}{8} \times {x}^{9}$

तथा दूसरा मध्य पद n+3 / 2 वाँ पद = 5 वाँ पद

$= T_{4 + 1} = {}^{7} c_4 \times {3}^{7 - 4} ( - \frac{ {x}^{3} }{6} ) {}^{4} \\ \\ \\ = {}^{7} c_4 \times {3}^{3} \times \frac{ {x}^{12} }{1296} \\ \\ \\ = \frac{35}{48} {x}^{12}$