Question

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए: $\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}+x\right) - \cos \left(\dfrac{3\pi}{4}-x\right) = -\sqrt{2}\,\sin x$

Answer 1

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Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

सिद्ध करना है -

$\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}+x\right) - \cos \left(\dfrac{3\pi}{4}-x\right) = -\sqrt{2}\,\sin x$

L.H.S.  =  $\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}+x\right) - \cos \left(\dfrac{3\pi}{4}-x\right)$

माना  कि   $(\frac{3\pi }{4} +x)$  = A

तथा     $(\frac{3\pi }{4} -x)$ = B

∴ L.H.S.   =  cosA - cosB

              =   $-2sin\frac{A+B}{2} .sin\frac{A-B}{2}$

अब   A + B  =  $\frac{3\pi }{4} +x + \frac{3\pi }{4} -x$ = $\frac{3\pi }{2}$

तथा   A - B  =  $\frac{3\pi }{4} +x - ( \frac{3\pi }{4} -x)$

                  =  $\frac{3\pi }{4} +x - \frac{3\pi }{4} +x$ = 2x

∴ L.H.S.   =    $-2sin\frac{3\pi }{4} . sin\frac{2x}{x}$

               =  $-2sin(\pi -\frac{\pi }{4}) . sin{x}$

               =   $-2sin\frac{\pi }{4} . sin{x}$

                                        [ ∵ sin(π-θ) = sinθ]

             =   $-2(\frac{1}{\sqrt{2} } ) . sinx$

             =   - $\sqrt{2} sinx$  =  R.H.S.

     अतः  L.H.S.  = R.H.S.