Question

निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप मे परिवर्तित कीजिए : (i) $\dfrac{1 + 7\iota}{(2 - \iota)^2}$ (ii) $\dfrac{1 + 3\iota}{1-2\iota}$.

Answer 1

2ɳɗ ɑɳรwɛʀ Բѳʆʆѳwร

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Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

(i)

माना           z = $\frac{1+7i}{(2-i)^{2}}$ = $\frac{1+7i}{4-4i+  ^{2}}$  =  $\frac{1+7i}{4-4i-1}$

                     = $\frac{1+7i}{3-4i}$ = $\frac{1+7i}{3-4i}$ × $\frac{3+4i}{3+4i}$

                     = $\frac{3+28i^{2}+4i+21i}{9-16i^{2}}$

                     = $\frac{3-28+25i}{25}$

                     = $\frac{-25}{25}$ + $\frac{25}{25}$ i

                     = -1 + i

                     = r(cosθ + i sinθ)

∴                     r cosθ = -1  ,  r sinθ = 1

वर्ग करके जोड़ने पर

                     $r^{2}$ $cos^{2}$θ + $r^{2}$ $sin^{2}$ θ = 1+1

या                 $r^{2}$($cos^{2}$θ+ $sin^{2}$θ) = 2  

या                 $r^{2}$ = 2  

या                 r = $\sqrt{2}$

                cosθ = ऋणात्मक , sinθ = धनात्मक  

    ∴         θ दूसरे चतुर्थाश में है।  

                r sin θ / r cos θ = tanθ = $\frac{-1}{1}$ = -1

                  = -tan π/4

अतः    tanθ = tan (π - π/4)

                   = tan 3 π/4

∴              θ = 3 π/4

अतः    r का ध्रुवीय रूप,  $\sqrt{2}$ (cos3 π/4 + i sin 3π/4) है।

(ii)    मान लिया        z = $\frac{1+3i}{1-2i}$  = $\frac{1+3i}{1-2i}$ × $\frac{1+2i}{1+2i}$

                                = $\frac{1+6i^{2}+2i+3i}{1-4i^{2}}$

                                = $\frac{1-6+5i}{1+4}$ = $\frac{-5}{5}$ + $\frac{5}{5}$ i

                                = -1 + i

भाग (i) के अनुसार  -1 + i = $\sqrt{2}$ (cos 3 π/4 + i sin 3 π/4)

अतः     $\frac{1+3i}{1-2i}$ = $\sqrt{2}$ (cos 3 π/4+ i sin 3 π/4)