निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(i) 2, 4, 8,16...
(ii) 2, 2/5 , 3, 7/2
(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .
(iv) – 10, – 6, – 2, 2, . . .
(v) 3,3+√2, 3+2√2, 3+3√2,.....
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222...
(vii) 0,-4, -8, -12...
(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2,...
(ix) 1, 3, 9, 27,...
(x) a, 2a, 3a, 4a,...
(xi) a, a2, a3, a4,...
(xii)√2,√8,√18,√32,...
(xiii) √3, √6, √9, √12,....
(xiv)12,32, 52, 72,...
(xv) 12, 52, 72,73,....
Answers
Answer:
(i) दिए गए पद है : 2,4,8,16 …
यहां,
a2 - a1 = 4 - 2 = 2
a3 - a2 = 8 - 4 = 4
a4 - a3 = 16 - 8 = 8
a2 - a1 ≠a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(ii) दिए गए पद है : 2, 5/2, 3, 7/2 ....
यहां,
a2 - a1 = 5/2 - 2 = 1/2
a3 - a2 = 3 - 5/2 = 1/2
a4 - a3 = 7/2 - 3 = ½
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = 1/2 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = a4 + d = 7/2 + 1/2 = 4
a6 = a5 + d = 4 + 1/2 = 9/2
a7 = a6 + d 9/2 + 1/2 = 5
(iii) दिए गए पद है : -1.2, - 3.2, -5.2, -7.2 …
यहां,
a2 - a1 = ( -3.2) - ( -1.2) = -2
a3 - a2 = ( -5.2) - ( -3.2) = -2
a4 - a3 = ( -7.2) - ( -5.2) = -2
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = - 2 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = - 7.2 - 2 = - 9.2
a6 = - 9.2 - 2 = - 11.2
a7 = - 11.2 - 2 = - 13.2
(iv) दिए गए पद है : -10, - 6, - 2, 2 …
यहां,
a2 - a1 = (-6) - (-10) = 4
a3 - a2 = (-2) - (-6) = 4
a4 - a3 = (2) - (-2) = 4
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = 4 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = 2 + 4 = 6
a6 = 6 + 4 = 10
a7 = 10 + 4 = 14
(v) दिए गए पद है : 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
यहां,
a2 - a1 = 3 + √2 - 3 = √2
a3 - a2 = (3 + 2√2) - (3 + √2) = √2
a4 - a3 = (3 + 3√2) - (3 + 2√2) = √2
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = √2 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = (3 + √2) + √2 = 3 + 4√2
a6 = (3 + 4√2) + √2 = 3 + 5√2
a7 = (3 + 5√2) + √2 = 3 + 6√2
(vi) दिए गए पद है : 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ….
यहां,
a2 - a1 = 0.22 - 0.2 = 0.02
a3 - a2 = 0.222 - 0.22 = 0.002
a4 - a3 = 0.2222 - 0.222 = 0.0002
a2 - a1 ≠ a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(vii) दिए गए पद है : 0, -4, -8, -12 …
यहां,
a2 - a1 = (-4) - 0 = -4
a3 - a2 = (-8) - (-4) = -4
a4 - a3 = (-12) - (-8) = -4
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = - 4 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = -12 - 4 = -16
a6 = -16 - 4 = -20
a7 = -20 - 4 = -24
(viii) दिए गए पद है : -1/2, -1/2, -1/2, -1/2 ....
यहां,
a2 - a1 = (-1/2) - (-1/2) = 0
a3 - a2 = (-1/2) - (-1/2) = 0
a4 - a3 = (-1/2) - (-1/2) = 0
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = 0 , अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = (-1/2) - 0 = -1/2
a6 = (-1/2) - 0 = -1/2
a7 = (-1/2) - 0 = -1/2
(ix) दिए गए पद है : 1, 3, 9, 27 …
यहां,
a2 - a1 = 3 - 1 = 2
a3 - a2 = 9 - 3 = 6
a4 - a3 = 27 - 9 = 18
a2 - a1 ≠ a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(x) दिए गए पद है : a, 2a, 3a, 4a …
यहां,
a2 - a1 = 2a - a = a
a3 - a2 = 3a - 2a = a
a4 - a3 = 4a - 3a = a
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = a अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = 4a + a = 5a
a6 = 5a + a = 6a
a7 = 6a + a = 7a
(xi) दिए गए पद है : a, a2, a3, a4 …
यहां,
a2 - a1 = a2 - a = (a - 1)
a3 - a2 = a3 - a2 = a2 (a - 1)
a4 - a3 = a4 - a3 = a3(a - 1)
a2 - a1 ≠ a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(xii) दिए गए पद है : √2, √8, √18, √32 ...
यहां,
a2 - a1 = √8 - √2 = 2√2 - √2 = √2
a3 - a2 = √18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2
a4 - a3 = 4√2 - 3√2 = √2
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = √2 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = √32 + √2 = 4√2 + √2 = 5√2 = √50
a6 = 5√2 +√2 = 6√2 = √72
a7 = 6√2 + √2 = 7√2 = √98
(xiii) दिए गए पद है : √3, √6, √9, √12 ...
यहां,
a2 - a1 = √6 - √3 = √3 × 2 -√3 = √3(√2 - 1)
a3 - a2 = √9 - √6 = 3 - √6 = √3(√3 - √2)
a4 - a3 = √12 - √9 = 2√3 - √3 × 3 = √3(2 - √3)
a2 - a1 ≠ a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(xiv) दिए गए पद है : 1², 3², 5², 7² …
1, 9, 25, 49 …..
यहां,
a2 − a1 = 9 − 1 = 8
a3 − a2 = 25 − 9 = 16
a4 − a3 = 49 − 25 = 24
a2 - a1 ≠ a 3 - a2 ≠ a4 - a3
सार्व अंतर समान नहीं है ।
अतः, दिए गए पद A.P में नहीं है।
(xv) दिए गए पद है : 1², 5², 7², 73 …
1, 25, 49, 73 …
यहां,
a2 − a1 = 52 − 12 = 24
a3 − a2 = 49 − 25 = 24
a4 − a3 = 73 − 49 = 24
a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3
प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है । सार्व अंतर, d = 24 अतः, दिए गए पद A.P में है।
तीन अन्य पद है :
a5 = 73+ 24 = 97
a6 = 97 + 24 = 121
a7 = 121 + 24 = 145
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए :
(i) 3, 1,-1, -3, .... (ii) -5,-1, 3, 7, ……..
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दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = –2, d = 0
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