निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए। (i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768
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Answer Step-by-step explanation:
1) 252
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
252 = (2 × 2) × (3 × 3) × 7
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 7 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 7 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴ 252 × 7 = 1764
∴ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 है जिससे 252 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √1764 = 42 है।
2) 180
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
180 = (3 x 3) x (2 x 2) x 5
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 5 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 5 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴ 180 × 5 = 900
√900 = (3 x 3) x (2 x 2) x (5 × 5)
√900 = 3 × 2 × 5
√900 = 30
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 है जिससे 180 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √900 = 30 है।
3) 1008
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
1008 = (2 x 2) x (2 x 2) x (3 x 3 ) x 7
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 7 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 7 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴ 1008 × 7 = 7056
√ 7056 =(2 x 2 )x (2 x 2) x (3 x 3) x (7×7)
√7056 = 2 × 2 × 3 ×7
√7056 = 84
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 है जिससे 1008 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √7056 = 84 है।
4) 2028
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
2028 = (2 x 2) x 3 x (13 x 13)
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 3 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 3 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴ 2028 × 3 = (2 x 2) x (3 x 3) × (13 x 13)
√6084 = 2 × 3 × 13 = 78
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 है जिससे 2028 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √6084 = 78 है।
5) 1458
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
1458 = 2 × (3 x 3) x (3 x 3) x (3 x 3)
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 2 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 2 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴ 1458 × 2 = (2× 2) x (3 x 3) x (3 x 3) x (3 x 3)
√2916 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 2 है जिससे 1458 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √2916 = 54 है।
6) 768
अभाज्य गुणनखंड द्वारा हम प्राप्त करते हैं :
768 = ( 2 x 2 )x (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) x 3
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए एक और 3 की आवश्यकता है।
इसलिए दी गई संख्या को 3 से गुणा करना चाहिए ताकि गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाए।
∴768 × 3 = ( 2 x 2 )x (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) x (3 × 3)
√2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 है जिससे 768 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √2304 = 48 है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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Answer:
अतः वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 है जिससे 2800 को भाग करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएंगी और इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल √400 = 20 है। यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए इसे 5 से भाग करते हैं। इसलिए दी गई संख्या को 5 से भाग करना चाहिए ताकि भागफल पूर्ण वर्ग बन जाए।