Question

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए : $\lim_{z\rightarrow1}\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1}$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

सीमा का मान ज्ञात करना -

$\lim_{z\rightarrow1}\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1}\\\\=\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z - 1}+\dfrac{z^{\frac{1}{6}} - 1}{z - 1}]\\\\=\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z - 1}]+\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{6}} - 1}{z - 1}]$

सीमा का मान रखने पर -

$=\frac{1}{3} (1)^{\frac{1}{3}-1 }+\frac{1}{6} (1)^{\frac{1}{6} -1}\\\\=\frac{1}{3} (1)^{-\frac{2}{3} }+\frac{1}{6}(1)^{-\frac{5}{6} }\\ \\=\frac{1}{3} +\frac{1}{6} \\\\=\frac{6}{3} \\\\=2$

अतः   $\lim_{z\rightarrow1}\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1}$ का मान  2  होगा।

Answer 2

$\huge \red{❥ }{ƛ} \pink{ղ} \blue{Տ} \purple{ա} \orange{ҽ} \color{blue}{ɾ } \green{ \: ࿐} \color{purple}$

$\:$

सीमा का मान ज्ञात करना -

$\begin{gathered}\lim_{z\rightarrow1}\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1}\\\\=\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z - 1}+\dfrac{z^{\frac{1}{6}} - 1}{z - 1}]\\\\=\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z - 1}]+\lim_{z\rightarrow1}[\dfrac{z^{\frac{1}{6}} - 1}{z - 1}]\\\\\end{gathered} </p><p>z→1$

सीमा का मान रखने पर

$\begin{gathered}=\frac{1}{3} (1)^{\frac{1}{3}-1 }+\frac{1}{6} (1)^{\frac{1}{6} -1}\\\\=\frac{1}{3} (1)^{-\frac{2}{3} }+\frac{1}{6}(1)^{-\frac{5}{6} }\\ \\=\frac{1}{3} +\frac{1}{6} \\\\=\frac{6}{3} \\\\=2\end{gathered}$

अतः

$\lim_{z\rightarrow1}\dfrac{z^{\frac{1}{3}} - 1}{z^{\frac{1}{6}} - 1}lim </p><p>z→1$

का मान 2 होगा।

$\:$

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