प्रश्न 3. सिद्ध कीजिये कि निम्नलिखित संख्यायें अपरिमेय है
1
(ii) 715
(iii)6+2
1
न
Answers
Answer:
(iii)6+2
1. answer ho jaye ji
Answer:
NCERT अभ्यास प्रश्नावली 1.3 - अपरिमेय संख्या
अपरिमेय संख्यां (Irrational Number)
संख्या जिसे
p
q
के रूप में जहाँ
p
और
q
पूर्णांक हैं तथा
q
≠
0
है, के रूप में नहीं लिखा जा सकता हो, अपरिमेय संख्या (Irrational Number) कहलाती हैं। उदारण के लिए -
√
2
,
√
3
,
π
, 0.101101110 . . . . , इत्यादि अपरिमेय संख्याएँ हैं।
प्रमेय (Theorem) 1.3: मान लिया कि
p
एक अभाज्य संख्या है। यदि
p
,
a
2
को विभाजित करती है, तो
p
,
a
को भी विभाजित करेगी जहाँ
a
एक धनात्मक पूर्णांक है।
उपपत्ति:
मान लिया कि
a
के अभाज्य गुणनखंड निम्नलिखित रूप के हैं:
a
=
p
1
,
p
2
, . . .
p
n
जहाँ
p
2
,
p
2
, . . . . ,
p
n
अभाज्य संख्याएँ हैं, परंतु आवश्यक रूप से भिन्न भिन्न नहीं है।
अत:,
a
2
=
(
p
1
P
2
.
.
.
p
n
)
(
p
1
P
2
.
.
.
p
n
)
=
p
2
1
p
2
2
.
.
.
p
2
n
अब दिया गया है कि
p
,
a
2
को विभाजित करती है। इसलिए, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार;
p
,
a
2
का एक अभाज्य गुणनखंड है। परंतु अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के गुण का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं कि
a
2
के अभाज्य गुणनखंड केवल
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
हैं।
अत:,
p
को
p
1
,
p
1
,
.
.
.
,
p
n
में से ही के होना चाहिए।
अब, चूँकि
a
=
p
1
p
2
.
.
.
p
n
,
अत:,
p
,
a
को अवश्य विभाजित करेगा।
प्रमेय (Theorem) 1.4 :
√
2
एक अपरिमेय संख्या है।
उपपत्ति:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि
√
2
एक परिमेय संख्या है।
अत: हम दो पूर्णांक
r
और
s
ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि
√
2
=
r
s
हो तथा
s
(
≠
0
)