Question

please give me answer with explanation

Answer 1

$\underline{\underline{\mathfrak{\Large{Solution : }}}}$



$\sf To \: Prove\: : \\ \\ \sf \implies \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x } \: + \: \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x } \: = \:2 \: cosec \: x$



$\sf Let , \\ \\ \sf \implies\dfrac{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x } \: + \: \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x } \: = \: k$



$\sf\implies\dfrac{(1 \: + \: sin \: x) \: - \:( cos \: x) }{(1 \: + \: sin \: x) \: + \:( cos \: x) } \: + \: \dfrac{(1 \: + \: sin \: x )\: + \:( cos \: x) }{(1 \: + \: sin \: x )\: - \: (cos \: x) } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \{(1 \: + \: sin \: x) \: - \:( cos \: x) \}^{2} \: + \: \{ ( \: 1 \: + \: sin \: x) \: + \: (cos \: x) \} {}^{2} }{ \{ (1 \: + \: sin \: x) \: + \:( cos \: x) \} \{(1 \: + \: sin \: x) \: - \: (cos \: x) \}} \: = \: k$



$\underline{\textsf{Using Algebraic Identity : }} \\ \\ \sf \implies (a \: - \: b )^2 \: + \: ( a \: + \: b )^2 \: = \: 2(a^2 \: + \: b^2) \\ \\ \textsf{And,} \\ \\ \sf \implies ( a \: + \: b )(a \: - \: b ) \: = \: (a^2 \: - \: b^2)$




$\sf \implies \dfrac{ 2\{(1 \: + \: sin \: x)^{2} \: + \:( cos \: x)^{2} \} }{ \{ (1 \: + \: sin \: x)^{2} \: - \:( cos \: x)^{2} \} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2 \{1 \: + \: {sin}^{2} x \: + \: 2 \: sin \: x \: + \: {cos}^{2}x \} }{ \{1 \: + \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x \: - \: {cos}^{2} x \} } \: = \: k$



$\textsf{Using Trigonometric Identity : } \\ \\ \sf \implies sin^2 x \: + \: cos^2 x \: = \: 1$




$\sf \implies \dfrac{2 \{1 \: + \: 1 \: + \: 2 \: sin \: x \: \} }{ \{ {sin}^{2} x \: + \: \cancel{ {cos}^{2}x }\: + \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x \: - \: \cancel{ {cos}^{2} x }\} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2(2 \: sin \: x \: + \: 2)}{(2 \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x) } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2 \cancel{(2 \: sin \: x \: + \: 2)}}{ sin \: x \cancel{(2 \: sin \: x \: + \: 2)}} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies 2 \: cosec \: x \: = \: k \qquad \left \{ sin \: x \: = \: \dfrac{1}{cosec \: x} \right \} \\ \\ \\ \textsf{Proved \: !!}$

Answer 2

$\begin{lgathered}\underline{\underline{\mathfrak{\Large{Solution : }}}} \\ \\ \\\end{lgathered} </p><p>\\ \\ \\</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\sf To \: Prove\: : \\ \\ \sf \implies \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x } \: + \: \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x } \: = \:2 \: cosec \: x \\ \\ \\\end{lgathered} \\ \\ \\</p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\sf Let , \\ \\ \sf \implies\dfrac{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x } \: + \: \dfrac{1 \: + \: sin \: x \: + \: cos \: x }{1 \: + \: sin \: x \: - \: cos \: x } \: = \: k \\ \\ \\\end{lgathered} \\ \\ \\</p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\sf\implies\dfrac{(1 \: + \: sin \: x) \: - \:( cos \: x) }{(1 \: + \: sin \: x) \: + \:( cos \: x) } \: + \: \dfrac{(1 \: + \: sin \: x )\: + \:( cos \: x) }{(1 \: + \: sin \: x )\: - \: (cos \: x) } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \{(1 \: + \: sin \: x) \: - \:( cos \: x) \}^{2} \: + \: \{ ( \: 1 \: + \: sin \: x) \: + \: (cos \: x) \} {}^{2} }{ \{ (1 \: + \: sin \: x) \: + \:( cos \: x) \} \{(1 \: + \: sin \: x) \: - \: (cos \: x) \}} \: = \: k \\ \\ \\\end{lgathered} \\ \\ \\</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\underline{\textsf{Using Algebraic Identity : }} \\ \\ \sf \implies (a \: - \: b )^2 \: + \: ( a \: + \: b )^2 \: = \: 2(a^2 \: + \: b^2) \\ \\ \textsf{And,} \\ \\ \sf \implies ( a \: + \: b )(a \: - \: b ) \: = \: (a^2 \: - \: b^2) \\ \\ \\\end{lgathered} \\ \\ \\</p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\sf \implies \dfrac{ 2\{(1 \: + \: sin \: x)^{2} \: + \:( cos \: x)^{2} \} }{ \{ (1 \: + \: sin \: x)^{2} \: - \:( cos \: x)^{2} \} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2 \{1 \: + \: {sin}^{2} x \: + \: 2 \: sin \: x \: + \: {cos}^{2}x \} }{ \{1 \: + \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x \: - \: {cos}^{2} x \} } \: = \: k \\ \\\end{lgathered} </p><p>\\ \\ \\</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\textsf{Using Trigonometric Identity : } \\ \\ \sf \implies sin^2 x \: + \: cos^2 x \: = \: 1 \\ \\ \\\end{lgathered} </p><p>\\ \\ \\</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>\begin{lgathered}\sf \implies \dfrac{2 \{1 \: + \: 1 \: + \: 2 \: sin \: x \: \} }{ \{ {sin}^{2} x \: + \: \cancel{ {cos}^{2}x }\: + \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x \: - \: \cancel{ {cos}^{2} x }\} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2(2 \: sin \: x \: + \: 2)}{(2 \: {sin}^{2}x \: + \: 2 \: sin \: x) } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{2 \cancel{(2 \: sin \: x \: + \: 2)}}{ sin \: x \cancel{(2 \: sin \: x \: + \: 2)}} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies 2 \: cosec \: x \: = \: k \qquad \left \{ sin \: x \: = \: \dfrac{1}{cosec \: x} \right \} \\ \\ \\ \textsf{Proved \: !!}\end{lgathered}$