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EXPLANATION.
(1) = 1/(x + 1) + 2/(x + 5) = 1/2.
As we know that,
⇒ (x + 5) + 2(x + 1)/(x + 1)(x + 5) = 1/2.
⇒ (x + 5) + 2x + 2/(x² + 5x + x + 5) = 1/2.
⇒ x + 5 + 2x + 2/(x² + 6x + 5) = 1/2.
⇒ 3x + 7/(x² + 6x + 5) = 1/2.
⇒ 2(3x + 7) = x² + 6x + 5.
⇒ 6x + 14 = x² + 6x + 5.
⇒ x² + 6x + 5 - 6x - 14 = 0.
⇒ x² + 5 - 14 = 0.
⇒ x² - 9 = 0.
⇒ x² = 9.
⇒ x = √9.
⇒ x = ± 3.
(2) = 1/(x + 7) + 1/(x + 3) = 6/5, x ≠ -3, -7.
As we know that,
⇒ (x + 3) + (x + 7)/(x + 7)(x + 3) = 6/5.
⇒ x + 3 + x + 7/(x² + 3x + 7x + 21) = 6/5.
⇒ 2x + 10/(x² + 10x + 21) = 6/5.
⇒ 5(2x + 10) = 6(x² + 10x +21).
⇒ 10x + 50 = 6x² + 60x + 126.
⇒ 6x² + 60x + 126 - 10x - 50 = 0.
⇒ 6x² + 50x + 76 = 0.
⇒ 2(3x² + 25x + 38) = 0.
⇒ 3x² + 25x + 38 = 0.
Factorizes the equation into middle term splits, we get.
⇒ 3x² +19x + 6x + 38 = 0.
⇒ x(3x + 19) + 2(3x + 19) = 0.
⇒ (x + 2)(3x + 19) = 0.
⇒ x = - 2 & x = -19/3.
(3) = (x - 1)/(x - 2) + (x - 3)/(x - 4) = 10/3, x ≠ 2, 4.
As we know that,
⇒ (x - 4)(x - 1) + (x - 3)(x - 2)/(x - 2)(x - 4) = 10/3.
⇒ x² - x - 4x + 4 + (x² - 2x - 3x + 6)/(x² - 4x - 2x + 8) = 10/3.
⇒ x² - 5x + 4 + x² - 5x + 6/(x² - 6x + 8) = 10/3.
⇒ 2x² - 10x + 10/(x² - 6x + 8) = 10/3.
⇒ 3(2x² - 10x + 10) = 10(x² - 6x + 8).
⇒ 6x² - 30x + 30 = 10x² - 60x + 80.
⇒ 10x² - 60x + 80 - 6x² + 30x - 30 = 0.
⇒ 4x² - 30x + 50 = 0.
⇒ 2(2x² - 15x + 25) = 0.
⇒ 2x² - 15x + 25 = 0.
Factorizes the equation into middle term splits, we get.
⇒ 2x² - 10x - 5x + 25 = 0.
⇒ 2x(x - 5) - 5(x - 5) = 0.
⇒ (2x - 5)(x - 5) = 0.
⇒ x = 5/2 & x = 5.
(4) = 1/(x + 6) + 1/(x + 10) = 3/(x - 4), x ≠ 4, 10, -6.
As we know that,
⇒ (x - 10) + (x + 6)/(x - 10)(x + 6) = 3/(x - 4).
⇒ x - 10 + x + 6/(x² + 6x - 10x - 60) = 3/(x - 4).
⇒ 2x - 4/(x² - 4x - 60) = 3/(x - 4).
⇒ (2x - 4)(x - 4) = 3(x² - 4x - 60).
⇒ 2x² - 8x - 4x + 16 = 3x² - 12x - 180.
⇒ 2x² - 12x + 16 = 3x² - 12x - 180.
⇒ 3x² - 12x - 180 - 2x² + 12x - 16 = 0.
⇒ x² - 196 = 0.
⇒ x² = 196.
⇒ x = √196.
⇒ x = ± 14.
(5) = x/3 + 3/(6 - x) = 2(6 + x)/15, x ≠ 6.
As we know that,
⇒ x(6 - x) + 3(3)/3(6 - x) = 2(6 + x)/15.
⇒ 6x - x² + 9/(18 - 3x) = 12 + 2x/15.
⇒ 15(6x - x² + 9) = (12 + 2x)(18 - 3x).
⇒ 90x - 15x² + 135 = 216 - 36x + 36x - 6x².
⇒ 216 - 6x² - 90x + 15x² - 135 = 0.
⇒ 9x² - 90x + 81 = 0.
⇒ 9(x² - 10x + 9) = 0.
⇒ x² - 10x + 9 = 0.
Factorizes the equation into middle term splits, we get.
⇒ x² - 9x - x + 9 = 0.
⇒ x(x - 9) - 1(x - 9) = 0.
⇒ (x - 1)(x - 9) = 0.
⇒ x = 1 & x = 9.
(6) = (2x + 1) + 3/(2x + 1) = 4, x ≠ -1/2.
As we know that,
⇒ (2x + 1)² + 3/(2x + 1) = 4.
⇒ 4x² + 1 + 4x + 3/(2x + 1) = 4.
⇒ 4x² + 4x + 4 = 4(2x + 1).
⇒ 4x² + 4x + 4 = 8x + 4.
⇒ 4x² + 4x + 4 - 8x - 4 = 0.
⇒ 4x² - 4x = 0.
⇒ 4(x² - 1 ) = 0.
⇒ x² - 1 = 0.
⇒ x² = 1.
⇒ x = √1.
⇒ x = 1.
(7) = x/(x + 1) + (x + 1)/x = 25/12, x = 0,-1.
As we know that,
⇒ x² + (x + 1)²/(x)(x + 1) = 25/12.
⇒ x² + x² + 1 + 2x/(x² + x) = 25/12.
⇒ 2x² + 2x + 1/(x² + x) = 25/12.
⇒ 12(2x² + 2x + 1) = 25(x² + x).
⇒ 24x² + 24x + 12 = 25x² + 25x.
⇒ 25x² + 25x - 24x² - 24x - 12 = 0.
⇒ x² + x - 12 = 0.
Factorizes the equation into middle term splits, we get.
⇒ x² + 4x - 3x - 12 = 0.
⇒ x(x + 4) - 3(x + 4) = 0.
⇒ (x - 3)(x + 4) = 0.
⇒ x = 3 & x = - 4.
(8) = x/(x - 1) + (x - 1)/x = 5/2, x ≠ 0,1.
As we know that,
⇒ x² + (x - 1)²/(x)(x - 1) = 5/2.
⇒ x² + x² + 1 - x/(x² - x) = 5/2.
⇒ 2x² - x + 1/(x² - x) = 5/2.
⇒ 2(2x² - x + 1) = 5(x² - x).
⇒ 4x² - 2x + 2 = 5x² - 5x.
⇒ 5x² - 5x - 4x² + 2x - 2 = 0.
⇒ x² - 3x - 2 = 0.
Factorizes the equation into middle term splits, we get.
⇒ x² - 2x - x - 2 = 0.
⇒ x(x - 2) + 1(x - 2) = 0.
⇒ (x + 1)(x - 2) = 0.
⇒ x = - 1 & x = 2.