Question

prove that given in question​

Answer 1

Step-by-step explanation:

Let AB be the surface of the lake & P be a point of observation such that

AP = h metres. Let C be the position of the cloud and D be its reflection in the lake. Then, CB = DB. Let PM be perpendicular from P on CB.

Then, angle CPM = α and angle MOD = β. Let CM = x.

Then, CB = CM+MB = CM+PA = x+h.

In ΔCOM, we have

              tanα = CM

                          PM

⇒             tanα =   X                                           [ ∵PM = AB ]

                            AB

⇒             AB = xcotα                                        .......(i)

In Δ PMD, we have

             tanβ = DM

                         PM

⇒           tanβ = x+2h                                       [ ∵DM = DB+BM=x+h+h ]

                           AB

⇒              AB = (x+2h)cotβ                              .......(ii)

From (i) and (ii), we have

                 xcotα = (x+2h)cotβ                         [ On equating the values of AB ]

⇒               x(cotα-cotβ) = 2hcotβ

⇒               x(    1       -      1    ) =    2h  

                     tanα         tanβ       tanβ

⇒               x(tanβ - tanα)       =     2h    

                     tanαtanβ                tanβ

⇒                   x =    2htanα  

                            tanβ-tanα  

Hence, the height CB of the cloud is given by

                     CB = x+h

⇒                   CB =   2htanα    +  h

                               tanβ-tanα  

⇒                    CB =    2h tanα+h tanβ - h tanα  

                                            tanβ-tanα

                            =   h(tanα - tanβ)  

                                     tanβ-tanα

Hence proved.