Question

prove that (sinA+cosecA) square+(cosA+SecA) square=7+tan squareA+cot square A​

Answer 1

To Prove:

• $\sf (sin\:A + cosec\:A)^2 + (cos\:A + sec\:A)^2 = 7 + tan^2\:A + cot^2\:A$

⠀⠀⠀⠀━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━⠀⠀⠀⠀⠀

Solution:

⠀⠀⠀

$\dag\;{\underline{\sf{By\:taking\:LHS,}}}$

$:\implies\sf (sin\:A + cosec\:A)^2 + (cos\:A + sec\:A)^2$

$:\implies\sf sin^2\:A + cosec^2\:A + 2\:sin\:A\:.\:cosec\:A + cos^2\:A + sec^2\:A + 2\:cos\:A\:.\:sec\:A$

$:\implies\sf sin^2\:A + cosec^2\:A + 2\:\cancel{sin\:A}\:.\:\dfrac{1}{\cancel{sin\:A}} + cos^2\:A + sec^2\:A + 2\:\cancel{cos\:A}\:.\:\dfrac{1}{\cancel{cos\:A}}$

$:\implies\sf (sin^2\:A + cosec^2\:A + 2) + (cos^2\:A + sec^2\:A + 2)\\ \\ \\ :\implies\sf (sin^2\:A + cos^2\:A) + (cosec^2\:A + sec^2\:A) + 4\\ \\ \\ :\implies\sf 1 + (1 + cot^2\:A + 1 + tan^2\:A) + 4\\ \\ \\ :\implies\sf 3 + cot^2\:A + tan^2\:A + 4\\ \\ \\ :\implies\bf \purple{7 + tan^2\:A + cot^2\:A}$

⠀⠀⠀⠀━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━⠀⠀⠀⠀⠀

$\qquad\boxed{\bf{\mid{\overline{\underline{\pink{\bigstar\: Trigonometry \: Table }}}}}\mid}$

$\boxed{\boxed{\begin{array}{c |c|c|c|c|c} \bf\angle A & \bf{0}^{ \circ} & \bf{30}^{ \circ} &\bf{45}^{ \circ} &\bf{60}^{ \circ} &\bf{90}^{ \circ} \\&&&&\\ \rm sin\: A & 0 &\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{ \sqrt{2} } & \dfrac{ \sqrt{3}}{2} &1 \\&&&&\\ \rm cos \: A &1 &\dfrac{ \sqrt{3} }{2}&\dfrac{1}{ \sqrt{2} } &\dfrac{1}{2} &0 \\&&&&\\ \rm tan\: A & 0 & \dfrac{1}{ \sqrt{3} }&1 &\sqrt{3} &\rm \infty \\&&&&\\ \rm cosec \:A &\rm \infty &2& \sqrt{2} &\dfrac{2}{ \sqrt{3} } &1 \\&&&&\\ \rm sec\: A &1 & \dfrac{2}{ \sqrt{3} }&\sqrt{2} &2 &\rm \infty \\&&&&\\ \rm cot\: A &\rm \infty & \sqrt{3} &1& \dfrac{1}{ \sqrt{3}} &0 \end{array}}}$

Answer 2

$\\ \: \: \large \bold{ \underline{ \: \: to \: prove : - } }$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf(sinA+cosecA) ^{2} \: +(cosA+SecA) ^{2} =7+tan ^{2}A+cot ^{2} A$

$\\ \: \: \large \bold{ \underline{ \: \: proof : - } }$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \: \sf(sinA+cosecA) ^{2} \: +(cosA+SecA) ^{2}$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \: \sf \: \: \: sin ^{2} A+ \: cosec^{2} A+ \: 2 \: sin \: A \: \times sec \: A \: + \: cos^{2} A \: + sec^{2} A + 2 \: cos \: A \: \times sec \: A$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \: \sf \: \: sin ^{2} A+cosec ^{2}A\: +sec ^{2}A \: + 2 + 2$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \: \sf \: 1 \: + \: cosec² A \: + sec² A \: + 4$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \: \sf(1 + {cot}^{2} A) \: +( 1 + {tan}^{2} A) + 5$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies\: \color{navy}{ \sf \: 7 \: + \: tan²A + \: cot² A \: = \: RHS}$

$\\ \underline{ \star \: \sf \: Important \: Trigonometric \: identities : - }$

$Important Trigonometric identities :- \\ \\ \boxed{\begin{minipage}{6cm} \: \: 1)\:\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \\ \\ 2)\:\sin^2\theta= 1-\cos^2\theta \\ \\ 3)\:\cos^2\theta=1-\sin^2\theta \\ \\ 4)\:1+\cot^2\theta=\text{cosec}^2 \, \theta \\ \\5)\: \text{cosec}^2 \, \theta-\cot^2\theta =1 \\ \\ 6)\:\text{cosec}^2 \, \theta= 1+\cot^2\theta \\\ \\ 7)\:\sec^2\theta=1+\tan^2\theta \\ \\ 8)\:\sec^2\theta-\tan^2\theta=1 \\ \\ 9)\:\tan^2\theta=\sec^2\theta-1 \end{minipage}}$

Be brainly ♡~