Question

Prove that tan4a = 4tana (1-tan^2a)/1-6tan^2a+tan^4a

Answer 1

I hope this ans. helps.

Answer 2

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \huge{\: \:To \: \: prove : \to }}} \\ \\ \\ \huge{\bold{tan \: 4a= \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{1 - 6 \: tan {}^{2}a + tan {}^{4} a }}}$

$\tt{L.H.S. = tan 4a} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= tan \: 2(2a) }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{2 tan 2a }{1 - tan {}^{2} (2a)}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ 2( \frac{2 \: tan \: a }{1 - tan {}^{2} a} )}{1 - ( \frac{2 \: tan \: a }{1 - tan {}^{2} a} ){}^{2} }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{ \frac{4 \: tan \: a}{1 - tan {}^{2}a }}{1 - \frac{4tan {}^{2} a}{(1 - tan {}^{2}a ) {}^{2} }} }\\ \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{4 \: tan \: a}{1 - tan {}^{2} a} }{ \frac{(1 - tan {}^{2}a) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} a}{(1 - tan {}^{2}a ) {}^{2} } }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: a}{1 - tan {}^{2} a} \times \frac{(1 - tan {}^{2} a) {}^{2} }{(1 - tan {}^{2}a) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} a} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{(1 - tan {}^{2}a) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}a }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{(1 ){}^{2} -2 \: tan {}^{2} a + ( tan {}^{2}a) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}a } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{1 - 2 \: tan {}^{2} a + tan {}^{4} a - 4 \: tan {}^{2}a }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{1 - 2 \: tan {}^{2} a - 4 \: tan {}^{2}a + tan {}^{4} a }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: a(1 - tan {}^{2} a)}{1 - 6 \: tan {}^{2}a + tan {}^{4} a }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= R.H.S. }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{ \underline{ \: \: Hence, \: proved. \: \: }}$