Question

prove that (tanA + secA ÷ cosecA + cotA)(tanA - secA ÷ cosecA - cotA) = 2(tanA×cosecA - cotA×secA)

Answer 1

$\textbf{To prove:}$

$\displaystyle\frac{tanA+secA}{cosecA+cotA}+\frac{tanA-secA}{cosecA-cotA}=2(tanA\;cosecA-cotA\;secA)$

$\text{Now,}$

$\displaystyle\frac{tanA+secA}{cosecA+cotA}+\frac{tanA-secA}{cosecA-cotA}$

$=\displaystyle\frac{(tanA+secA)(cosecA-cotA)+(tanA-secA)(cosecA+cotA)}{(cosecA+cotA)(cosecA-cotA)}$

$\text{Using,}\bf(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

$=\displaystyle\frac{(tanA+secA)(cosecA-cotA)+(tanA-secA)(cosecA+cotA)}{cosec^2A-cot^2A}$

$\text{Using,}\bf\;cosec^2A-cot^2A=1$

$=\displaystyle\;tanA\;cosecA-secA\;cotA+tanA\;cosecA-secA\;cotA$

$=\displaystyle\;2\;tanA\;cosecA-2\;secA\;cotA$

$=\displaystyle\;2(tanA\;cosecA-secA\;cotA)$

$\therefore\boxed{\bf\frac{tanA+secA}{cosecA+cotA}+\frac{tanA-secA}{cosecA-cotA}=2(tanA\;cosecA-cotA\;secA)}$