Question

Prove that $\sf tan4x = \dfrac{4tanx(1-tan^2x)}{1-6tan^2x+tan^4x}$ .

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Answer 1

To prove that :

$\sf \: tan4x = \dfrac{4tanx(1-tan^2x)}{1-6tan^2x+tan^4x}$

LHS

$\implies \sf \: tan(2x + 2x) \\ \\ \implies \sf \: \dfrac{2tan2x}{1 - {tan}^{2} 2x} \\ \\ \implies \sf \: \dfrac{2 \times \bigg(\dfrac{2tan \: x}{1 - {tan}^{2}x} \bigg) }{1 - \bigg( \dfrac{2tan \: x}{1 - tan {}^{2} x} \bigg) {}^{2} } \\ \\ \implies \sf \dfrac{\dfrac{4tan \: x}{1 - {tan}^{2}x} }{\bigg( \dfrac{1 - 6tan {}^{2} \: x + {tan}^{4}x }{1 -2 {tan}^{2}x + {tan}^{4} x } \bigg) } \\ \\ \implies \sf \: \dfrac{4tan \: x}{1 - {tan}^{2} x} \times \dfrac{(1 - {tan {}^{2} \: x} ) {}^{2} }{1 - 6tan {}^{2}x + {tan}^{4}x } \\ \\ \implies \sf \: \dfrac{4tan \: x(1 - {tan}^{2} x)}{1 - 6tan {}^{2} x + {tan}^{4}x }$

Hence, proved.

Formulas Used :

• $\sf tan(a + b) = \dfrac{tan(a) + tan(b)}{1 - tan(a)tan(b)}$
• $\sf tan2x = \dfrac{2tan x}{1 - tan^2x }$

Answer 2

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$\red{ \bold{\underline{Solution:-}}}$

$\begin{gathered}\underline{ \mathfrak{ \huge{\pink{\: \:To \: \: prove : \to }}}} \\ \\ \\ \huge{\bold{tan \: 4x= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 6 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }}}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\tt{L.H.S. = tan 4x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= tan \: 2(2x) }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{2 tan 2x }{1 - tan {}^{2} (2x)}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ 2( \frac{2 \: tan \: x }{1 - tan {}^{2} x} )}{1 - ( \frac{2 \: tan \: x }{1 - tan {}^{2} x} ){}^{2} }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{ \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2}x }}{1 - \frac{4tan {}^{2} x}{(1 - tan {}^{2}x ) {}^{2} }} }\\ \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2} x} }{ \frac{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} x}{(1 - tan {}^{2}x ) {}^{2} } }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2} x} \times \frac{(1 - tan {}^{2} x) {}^{2} }{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} x} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}x }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{(1 ){}^{2} -2 \: tan {}^{2} x + ( tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}x } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 2 \: tan {}^{2} x + tan {}^{4} x- 4 \: tan {}^{2}x }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 2 \: tan {}^{2} x - 4 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 6 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= R.H.S. }\end{gathered}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{ \underline{ \: \: Hence, \: proved. \: \: }}$

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