Question

Prove that the set of all feasible solution of lpp is a convex set

Answer 1

Answer:

Sea {\displaystyle \mu ^{\ast }} \mu ^{{\ast }} una medida exterior en X. Un subconjunto {\displaystyle A\subset X} {\displaystyle A\subset X} se dice {\displaystyle \mu ^{\ast }} \mu ^{{\ast }}-medible si {\displaystyle \mu ^{\ast }(B)=\mu ^{\ast }(B\cap A)+\mu ^{\ast }(B\setminus A)} {\displaystyle \mu ^{\ast }(B)=\mu ^{\ast }(B\cap A)+\mu ^{\ast }(B\setminus A)} para todo {\displaystyle B\subset X} {\displaystyle B\subset X}. El conjunto {\displaystyle M\subset \wp (X)} M\subset \wp (X) formado por todos los conjuntos {\displaystyle \mu ^{\ast }} \mu ^{{\ast }}-medibles es una {\displaystyle \sigma } \sigma-álgebra en X y {\displaystyle \mu =\mu _{|M}^{\ast }} \mu =\mu _{{|M}}^{{\ast }} ( {\displaystyle \mu ^{\ast }} \mu ^{{\ast }} restringida en {\displaystyle M} M) es una medida en X. Además, {\displaystyle \{E\in M:\mu (E)=0\}=\{A\subset X:\mu ^{\ast }(A)=0\}} {\displaystyle \{E\in M:\mu (E)=0\}=\{A\subset X:\mu ^{\ast }(A)=0\}}

En particular, {\displaystyle \mu } \mu es una medida completa, es decir, si {\displaystyle E\subset M} E\subset M y {\displaystyle \mu (E)=0} \mu (E)=0 entonces todo {\displaystyle E'\subset E} E'\subset E también cumple {\displaystyle E'\subset M} E'\subset M y {\displaystyle \mu (E')=0} \mu (E')=0.

Es relevante destacar que el teorema muestra también como construir la medida exterior a partir de una medida cualquiera definida en una semi-álgebra (como por ejemplo, los intervalos semiabiertos en {\displaystyle \mathbb {R} } {\mathbb  {R}}). Así, si la medida definida en la semiálgebra es {\displaystyle \nu } \nu , la medida exterior estará dada por {\displaystyle \mu ^{\ast }(A)=inf\{\sum _{A_{i}\in \mathbb {A} }\nu (A_{i}):\mathbb {A} \in {\mathcal {R}}(A)\}} \mu ^{{\ast }}(A)=inf\{\sum _{{A_{i}\in {\mathbb  {A}}}}\nu (A_{i}):{\mathbb  {A}}\in {\mathcal  {R}}(A)\}, donde {\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=\{\mathbb {A} \subset \mathbb {P} (X)tq|\mathbb {A} |=|\mathbb {N} |,A\subseteq \bigcup (A_{i}:A_{i}\in \mathbb {A} )\}} {\mathcal  {R}}(A)=\{{\mathbb  {A}}\subset {\mathbb  {P}}(X)tq|{\mathbb  {A}}|=|{\mathbb  {N}}|,A\subseteq \bigcup (A_{i}:A_{i}\in {\mathbb  {A}})\}

En el caso particular de {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb{R}, la semiálgebra es {\displaystyle S=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} \}} S=\{(a,b]:a,b\in {\mathbb  {R}}\}, y la medida sobre ella está dada por {\displaystyle \nu ((a,b])=b-a} \nu ((a,b])=b-a.

Referencias

Step-by-step explanation:

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