Question

provethat cos(sin-1 3/5 + cot-1 3/2) = 6/5 root 13

Answer 1

In brainly equations are very difficult to make. So, i made in MATHS TYPE WRITER. So, please see the attachment. 

Answer 2

Answer:

Hence proved that the value of  $\cos \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } + \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } \right) = \frac { 6 } { 5 \sqrt { 13 } }$

To Prove:

 $\cos \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } + \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } \right) = \frac { 6 } { 5 \sqrt { 13 } }$

Solution :

We know that,

$\begin{array} { c } { \sin ^ { - 1 } x = \tan ^ { - 1 } \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \\\\ { \cot ^ { - 1 } x = \tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { x } } \end{array}$

Hence,

$\begin{array} { c } { \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } = \tan ^ { - 1 } \frac { \frac { 3 } { 5 } } { \sqrt { 1 - \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { 2 } } } } \\\\ { \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } = \tan ^ { - 1 } \frac { \left( \frac { 3 } { 5 } \right) } { \sqrt { \frac { 16 } { 25 } } } = \tan ^ { - 1 } \frac { \frac{3}{5}  } { \frac{4}{5}  } } \end{array}$

$\begin{array} { c } { \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } = \tan ^ { - 1 } \frac { 3 } { 4 } } \\\\ { \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } = \tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { \frac { 3 } { 2 } } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) } \end{array}$

Hence,

$\sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } + \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } = \tan ^ { - 1 } \frac { 3 } { 4 } + \tan ^ { - 1 } \frac { 2 } { 3 }$

We know that,

$\tan ^ { - 1 } A + \tan ^ { - 1 } B = \tan ^ { - 1 } \frac { A + B } { 1 - A B }$

$\sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } + \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } = \tan ^ { - 1 } \frac { 3 } { 4 } + \tan ^ { - 1 } \frac { 2 } { 3 } = \tan ^ { - 1 } \frac { \frac { 3 } { 4 } + \frac { 2 } { 3 } } { 1 - \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 2 } { 3 } }$

$= \tan ^ { - 1 } \frac { \frac { 17 } { 12 } } { \frac { 6 } { 12 } } = \tan ^ { - 1 } \frac { 17 } { 6 }$

$\therefore \cos \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 3 } { 5 } + \cot ^ { - 1 } \frac { 3 } { 2 } \right) = \cos \left( \tan ^ { - 1 } \frac { 17 } { 6 } \right)$

We know that,

$\tan ^ { - 1 } x = \cos ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { + x ^ { 2 } } }$

$\begin{array} { l } { \cos \left( \tan ^ { - 1 } \frac { 17 } { 6 } \right) = \cos \left( \cos ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \frac { 17 } { 6 } \right) ^ { 2 } } } \right) } \\\\ { = \frac { 6 } { \sqrt { 6 ^ { 2 } + 17 ^ { 2 } } } = \frac { 6 } { \sqrt { 325 } } = \frac { 6 } { \sqrt { 13 \times 25 } } = \frac { 6 } { 5 \sqrt { 13 } } } \end{array}$

Hence proved.