Question

Q1.Evalute the following limits.
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Answer 1

Answer:

(~_^)(~_^)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)(⌒o⌒)

$\huge\mathfrak{\underline{\underline{\red{Answer:-}}}}$

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$\bullet\sf{lim_x\to0 \: \: \:\: \dfrac{tan2x-x}{3x-tanx}}$

$\bullet\sf{lim_x\to0 \: \:\:\:\ x(\dfrac{\dfrac{(tan2x}{x}-1)}x{(3-\dfrac{tanx}{x})}}$

$\: \: \: \: \clubsuit \sf{ \: properties}$

$\: \: \: \: \: \bullet \sf{ \frac{tanx}{x} = 1}$

$\: \: \: \: \: \bullet \sf{ \frac{tan2x}{x} = 2}$

$\: \:\: \:\: \bullet\sf{\dfrac{2-1}{3-1}}$

$\: \: \: \: \: \bullet\sf{\dfrac{1}{2}}$

$\to\boxed{\sf\red{(1) \dfrac{1}{2} \: is\: the\: answer}}$

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(2) limx=0 x(cosx+sinx/x)/x(x+tanx/x)

limx=0 (cosx+1)/(x+1)=cos0+1/0+1=1+1/1=2

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(3) lim x=0 (xcosecx)

limx=0. (0cosec0)=0

LHS=RHS

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(4)limx=0. sinxcosx/3x

=sinxcosx/3x

cosx/x=1. sinx/3=sin(0)/3=0

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(5) limx=0. tan(x/2)/3x

= tanx/2/3x/2x2=

tanx/2/x/2=1

=1/6