Question

सिद्ध कीजिए
√1+sinx +√ 1-sinx
cot⁻¹ [————————— ]= x/2 , x∈(0, π/4)
√1+sinx -√ 1-sinx

Answer 1

Given   :  Cot⁻¹  ( (√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx)) = x/2 x∈(0, π/4)

To find :   सिद्ध कीजिए

Solution:

Cot⁻¹  ( (√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx)) = x/2

LHS = Cot⁻¹  ( (√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx))

(√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx))

=  (√1+sinx +√ 1-sinx) (√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx))(√1+sinx +√ 1-sinx))

= ( 1 + sinx + 1 - sin + 2√(1 - sin²x)  )/( 1 + sinx -(1 - sinx))

= (2 + 2√cos²x) /(2Sinx)

= 2(1 + Cosx)/2Sinx

= (1 + Cosx)/Sinx

1 + Cosx = 2Cos²(x/2)

Sinx = 2Sin(x/2)Cos(x/2)

= 2Cos²(x/2) / 2Sin(x/2)Cos(x/2)

= Cos (x/2) /  Sin(x/2)

= Cot (x/2)

LHS  = Cot⁻¹  (Cot (x/2) )

= x/2

= RHS

LHS = RHS

=>  Cot⁻¹  ( (√1+sinx +√ 1-sinx)/(√1+sinx -√ 1-sinx)) = x/2

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