सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
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Given : एक वृत्त
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Solution:
आयताकार की भुजा = x , y
वृत्त की त्रिज्या = r
∠ABC = 90° आयत
=> AC व्यास AC = 2r
x² + y² = (2r)²
=> y = √(4r² - x²)
आयत का क्षेत्रफल = xy
= x√(4r² - x²)
f(x) = x√(4r² - x²)
f'(x) = ( x (1/2) / √(4r² - x²))(-2x) + √(4r² - x²)
=> f'(x) = (-x ² + 4r² - x²)/√(4r² - x²)
=> f'(x) = (-2x ² + 4r² )/√(4r² - x²)
=> f'(x) = (x ² - 2r² )/√(4r² - x²)
f'(x) =0
(x ² - 2r² )/√(4r² - x²) = 0
=> x ² - 2r² = 0
=> x = √2 r
y = √(4r² - x²) = √(4r² - 2r²)
=> y² = 2r²
=> y = √2 r
=> x = y = √2 r
=> आयत वर्ग है
इति सिद्धम सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है
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