Question

सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

Answer 1

माना कि ABCE एक वर्ग है , जिसकी भुजा a है ।

अब, वर्ग का विकर्ण DB =√2 × भुजा = √2a

अब, वर्ग की एक भुजा पर बना समबाहु त्रिभुज, ABE है।

चूँकि वर्ग की एक भुजा =a ,

अत: त्रिभुज ABE की भुजा =a

प्रश्न के अनुसार, वर्ग के विकर्ण पर बना त्रिभुज, DBF है।

चूँकि वर्ग का विकर्ण DB =√2a अत: त्रिभुज DBF की भुजा =√2a

अब त्रिभुज, ABE तथा DBF में,

चूँकि दोनों त्रिभुज समबाहु हैं, अत: दोनों त्रिभुज के सभी कोण 60° होंगे ।

अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता के कसौटी के आधार पर

△ ABE $\sim$△ DBF

अत:, ar(∆ABE) / ar(∆DBF)=(AB(DB)²

⇒ar(∆ABE) /ar (∆DBF)=(a/√2a)²

⇒ar(∆ABE) / ar(∆DBF)=(1/√2)² = 1/2

⇒ar(∆ABE)=ar(∆DBF)/2

Answer 2

माना कि ΔABCD एक वर्ग है

जिसकी प्रत्येक भुजा X है

अतः विकर्ण √2x होगा

ΔABE और ΔDBF में

त्रिभुज DBF की प्रत्येक भुजा की लंबाई = √2x

त्रिभुज ABE की प्रत्येक भुजा की लंबाई = x

हम जानते हैं समदिबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° के होते हैं

अतः AAA समरूपता प्रमेय से

ΔABE ~ ΔDBF

area of ABE / area of DBF = (x/√2x) ² = 1/2