सिद्ध कीजिए कि f:R → {x∈R : - 1 < x< 1 } जहाँ f(x) = x1+|x| , x∈R द्वारा परिभाषित फलन एकेकी तथा आच्छादक है।
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Given : f:R → {x∈R : - 1 < x< 1 } जहाँ f(x) = x / ( 1+|x| ) , x∈R द्वारा परिभाषित फलन
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Solution :
f(x) = x / ( 1+|x| )
|x| = x x ≥ 0
|x| = -x x < 0
f(x) = x / ( 1+x) x ≥ 0
f(x) = x / ( 1- x) x < 0
x ≥ 0
f(x₁) = x₁ / ( 1+ x₁ )
f(x₂) = x₂ / ( 1+ x₂ )
f(x₁) = f(x₂)
=> x₁ / ( 1+ x₁ ) = x₂ / ( 1+ x₂ )
=> x₁ ( 1+ x₂ ) = x₂ ( 1+ x₁ )
=> x₁ + x₁ x₂ = x₂ + x₂ x₁
=> x₁ = x₂
x < 0
f(x₁) = x₁ / ( 1- x₁ )
f(x₂) = x₂ / ( 1- x₂ )
f(x₁) = f(x₂)
=> x₁ / ( 1- x₁ ) = x₂ / ( 1- x₂ )
=> x₁ ( 1- x₂ ) = x₂ ( 1- x₁ )
=> x₁ - x₁ x₂ = x₂ - x₂ x₁
=> x₁ = x₂
=> फलन एकेकी
y = f(x) x < 0
y = x/(1 - x)
=> y - xy = x
=> y = x(1 + y)
=> x = y / ( 1 + y) y ≠ -1
f(x) = x / ( 1- x)
= (y/(1 + y)/(1 - y/(1 + y))
= y (1 + y - y)
= y
=> f(x) = y
y = f(x) x ≥ 0
y = x/(1 + x)
=> y + xy = x
=> y = x(1 - y)
=> x = y / ( 1 - y) y ≠ 1
f(x) = x/ (1 + x)
= (y/(1 - y)/(1 + y/(1 - y)
= y/( 1- y + y)
= y
f(x) = y
=> फलन आच्छादक है
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