सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
Answers
Step-by-step explanation:
माना R कोई वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा R = { (a, b) : a ≤ b} 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि a ≤ a ⇒ a = a 2. R सममित नहीं है, क्योंकि a, b से कम है तब b, a से कम नहीं है। यदि 1, 2 से कम है तब 2, 1 से कम नहीं हो सकती। 3. R संक्रामक है, क्योंकि a ≤ b और b ≤ c तब a ≤ b अत: 1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
Given : वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b }, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R,
To find : सिद्ध कीजिए कि संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
R = { (a, b) : a ≤ b },
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R => a ≤ a
हमें ज्ञात है की a = a
=> a ≤ a
=> (a , a) ∈ R
=> प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
=> संबंध स्वतुल्य है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
( 1 , 2) ∈ R 1 ≤ 2 परन्तु 2 > 1 => ( 2 , 1) ∉ R
समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त नहीं होता
=> संबंध सममित नहीं है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
(1 , 2) ∈ R ∵ 1 < 2 तथा
(2 , 3) ∈ R ∵ 2 < 3
(1 , 3) ∈ R ∵ 1 < 3
(a, b) ∈ R => a ≤ b (b, c) ∈ R => b ≤ c
=> a ≤ c => ( a, c) ∈ R
समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त होता है
=> संबंध संक्रामक है
इति सिद्धम
कि संबंध संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है
और सीखें :
निर्धारित कौजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा
संक्रामक हैं:
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सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
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Give an example of a relation. Which is reflexive and symmetric but not transitive.
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