Question

सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

Answer 1

माना कि एक वृत्त जिसका केंद्र O है को एक स्पर्श रेखा AB , P बिंदु पर स्पर्श करती है।

हमें सिध्द करना है कि OP जो कि स्पर्श रेखा पर लम्ब है वृत्त के केन्द्र O से होकर जाती है।

प्रमाण : माना कि स्पर्श रेखा AB के स्पर्श बिन्दु P पर लम्ब वृत्त के केन्द्र O से नहीं गुजरती है।

बल्कि यह लम्ब वृत्त के केन्द्र O से अलग एक बिन्दु O' से गुजरती है।

चूँकि , OP' समांतर है AP के

∴ ∠ O'PB = 90°

तथा हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र तथा वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु को जोड़ने वाली रेखा, अर्थात वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

चूँकि, OP ⊥ AB

∴ ∠ OPB = 90°

इसका अर्थ यह है कि रेखा OP और O'P को एक ही होना चाहिए।

लेकिन OP तथा O'P उसी स्थिति में सन्निपतित होगा जबकि O और O' एक ही होगा।

लेकिन यहाँ माना गया है कि O' वृत्त के केन्द्र से अलग ही एक बिन्दु है, जो कि संभव नहीं है। अर्थात हमारी धारणा गलत है।

अत: यह प्रमाणित होता है कि स्पर्श बिन्दु स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।

Answer 2

Step-by-step explanation:

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