Question

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

Answer 1

माना एक वृत्त है जिसका केंद्र o है तथा व्यास AB है तथा RS और PQ स्पर्श रेखाएं हैं

सिद्ध करना है - किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हम जानते हैं स्पर्श रेखा पर त्रिज्या लंब होती है
अतः OA⊥ RS, OB⊥ PQ

ㄥOAR = ㄥOAS = 90°................(1)
ㄥOBP = ㄥOBQ = 90°.................(2)

उपरोक्त समीकरण से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं

ㄥOAR = ㄥOBQ. ( एकांतर कोण )
ㄥOAS = ㄥOBP. (एकांतर कोण )

एकांतर कोण बराबर है अतः रेखाएं PQ और PS समांतर होगी

Answer 2

माना कि O केन्द्र वाला एक वृत्त है तथा AB इस वृत्त का व्यास है । RS और PQ वृत्त के व्यास AB के दोनों सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं।

हमें सिद्ध करना है कि RS और PQ समांतर हैं।

चूँकि RS बिन्दु A पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तथा OA उसी वृत्त की त्रिज्या है।

∴ OA ⊥ RS

अतः ∠ OAR = 90° और, ∠ OAS = 90°

उसी तरह, OB उसी वृत्त की दूसरी त्रिज्या है तथा PQ वृत के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा है।

∴ OB ⊥ PQ

अतः ∠ OBP = OBQ = 90°


अब, ∠ OAR = ∠ OBQ = 90°[एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]

और ∠ OAS = ∠ OBP = 90° [एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]

चूँकि एकांतर अंत: कोण RS और PQ बराबर है।

अत: RS समांतर है PQ के

अत: किसी वृत के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।