Question

सिद्ध कीजिए कि $(1 + x)^{2n}$ के प्रसार में $x^n$ का गुणांक, $(1 + x)^{2n - 1}$ के प्रसार में $x^n$ के गुणांक का दुगना होता है।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

द्विपद प्रमेय के आधार पर हम लिख सकते है कि  

$(1+x)^{2n}=^{2n}C_0+^{2n}C_1x^1+^{2n}C_2x^2+....+^{2n}C_nx^n$

तथा    $(1+x)^{2n-1}=^{2n-1}C_0+^{2n-1}C_1x^1+^{2n-1}C_2x^2+....+^{2n-1}C_nx^n$

$(1+x)^{2n}$में   $x^n$ का गुणांक   = $^{2n}C_n$

तथा $(1+x)^{2n-1}$ में  $x^n$का गुणांक  =$^{2n-1}C_n$

सिद्ध करना है कि  

$^{2n}C_n=2(^{2n-1}C_n)$

$^{2n}C_n=\frac{2n!}{n!n!} \\\\=\frac{2n(2n-1)!}{n(n-1)!n!} \\\\=\frac{2(2n-1)!}{n!(n-1)!}$     ....(i)

पुनः  

$^{2n-1}C_n=\frac{(2n-1)!}{n!(2n-1-n)!} \\\\=\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!} .....(ii)$

समीकरण   (i) व  (ii)   से

$^{2n}C_n=2.^{2n-1}C_n$