Question

सिद्ध कीजिए कि दिए हुए संपूर्ण पृष्ठ और अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊंचाई आधार के व्यास के बराबर होती है ?​

Answer 1

माना खुले बेलनाकार बर्तन का पृष्ठ

S = 2πrh + πr²

100 = (2πrh + πr² ) ---------(1)

बेलन के आयतन के उचिष्ट का तथ्य दिया है बेलन का आयतन

V = πr²h

समीकरण 1से h का मान रखने पर

$\bf \: v \: = \pi {r}^{2} ( \frac{100 - \pi {r}^{2} }{2 \pi \: r} )$

V = 100π - πr³ / 2 ---------------(2)

r के सापेक्ष अवकलन

$\frac{dv}{dr} = \frac{1}{2} [100 \times 1 - \pi(3 {r}^{2}) ] \\ \\ = \frac{1}{2} (100 - 3\pi {r}^{2} )$

आयतन V के उच्चिष्ट एवं निम्निष्ट मान हेतु dv/dr = 0

1/2 ( 100 - 3πr²) = 0

100 - 3πr² = 0

r² = 100/3π

r = √100/3π

r के सापेक्ष पुनः अवकलन

$\frac{d {}^{2}v }{ {dr}^{2} } = \frac{1}{2} ( - 3\pi \times 2r) \\ \\ \frac{ {d}^{2}v }{ {dr}^{2} } = - 3\pi \: r$

r = √100/3π रखने पर

d²v/dr² = - ive

•°• r = √100/3π पर बेलन का आयतन उच्चिष्ट है

तो r का मान समीकरण 2 में

बेलन का उचित आयतन

$\bf \: v \: = \sqrt{ \frac{100}{3\pi} } [ \frac{100 - { \frac{100\pi}{3\pi} } {}^{}} {2} ] \\ \\ \bf \: v = \frac{10}{3\pi} . \frac{200}{3 \times 2} \\ \\ \bf \: = \frac{1000}{ \sqrt[3]{3\pi} } cm$

Answer 2

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