Math, asked by maahira17, 11 months ago

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है |

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Answered by nikitasingh79
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Answer:

मान लिया कि Δ ABC ~ Δ PQR दो समरूप त्रिभुज हैं, तथा AD तथा PS इन दोनों त्रिभुजों की मध्यिकाएँ हैं।

अत: AB/PQ = BC/QR = AC/PR    …………(1)  

और  ∠ A =∠ P, ∠ B = ∠ Q, ∠ C = ∠ R  ………..(2)

[समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

BD = DC = BC/2 और QS = SR = QR/2 ………..(3)

[AD तथा PS मध्यिकाएँ हैं]

समी (1) से,  

AB/PQ = (BC/2)/(QR/2) = AC/PR

[मध्य पद को 2 से भाग देने पर]

AB/PQ = BD/QS = AC/PR     [समी (3) से]

Δ ABD और Δ PQS में,

∠ B =∠ Q                

[समी (2) से ]

AB/PQ = BD/QS   [समी (3) से ]

अतः, Δ ABD ~ Δ PQS (SAS)  

AB/PQ = BD/QS = AD/PS …….( 4)

[समरूप त्रिभुजों के संगत भुजा समानुपाती होती हैं]

ar(ΔABC)/ar (ΔPQR) = AB²/PQ² = BC²/QR² = AC²/PR²  

[दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओंके अनुपात के वर्ग के बराबर होता है]  

समी (4) से,  

AB/PQ = AD/PS

अतः, ar(Δ ABC)/ar (Δ PQR) = AD² /PS²

अतः सत्यापित ।

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

 

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