सिद्ध कीजिए कि ????( x ) =| x | द्वारा प्रदत्त मापांक फलन ???? : R⟶R, न तो एकैकी है। और न आच्छादक है, जहाँ | x | बराबर x , यदि x धन या शून्य है तथा| x | बराबर – x, यदि x ऋण है।
Answers
Given : f(x) = | x | द्वारा परिभाषित फलन R ⟶ R
| x | बराबर x , यदि x धन या शून्य है तथा| x | बराबर – x, यदि x ऋण है।
To find : सिद्ध कीजिए कि फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
R ⟶ R
f(x) = | x |
f(1) = 1
f(-1) = 1
1 = 1
=> f(1) = f(-1)
परन्तु 1 ≠ - 1
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य नहीं है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) नहीं है
y = f(x) y ∈ R
=> y = | x |
=> y ∈ [0 , ∞ ]
केवल y ∈ [0 , ∞ ] लिए X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व नहीं है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) नहीं है
=> f(x) = |x| द्वारा परिभाषित फलन R → R न तो एकैकी है और न आच्छादक है,
इतिसिद्धम
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