सभी के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की :
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माना P(n) : (2n+7) < (n+3)²
n = 1 के लिए
[2(1) + 7] < [1+3]²
9 < 16
अतः P(n), n = 1 के लिए सत्य है |
माना P(n), n = k के लिए सत्य है |
इसलिए,
2k + 7 < (k+3)²
दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर
2(k+1) + 7 < (k+3)² + 2
2(k+1) + 7 < k² + 6k + 11 ..................................समीकरण 1
k को k+1 रखने पर सिद्ध करना है
2(k+1) + 7 < (k+1+3)²
2k + 9 < (k+4)²
समीकरण 1 के दाएं पक्ष में 2k+5 जोड़ने पर
2(k+1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k+5
2k+9 < k² + 8k + 16
2k+9 < (k+4)²
अतः P(n), n = k+1 के लिए सत्य है |
इस प्रकार P(n), n ∈ N, n के सभी मानों लिए सत्य है |
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सभी n \in N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : 1+2+3+...+n\ \textless \ \dfrac{1}{8}(2n+1)^{2}.
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