Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $(2n+7)\ \textless \ (n+3)^{2}$

Answer 1

Answer:

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Answer 2

माना P(n) : (2n+7) < (n+3)²

n = 1 के लिए

[2(1) + 7] < [1+3]²

9 < 16

अतः P(n), n = 1 के लिए सत्य है |

माना P(n), n = k के लिए सत्य है |

इसलिए,

2k + 7 < (k+3)²

दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर

2(k+1) + 7 < (k+3)² + 2

2(k+1) + 7 < k² + 6k + 11    ..................................समीकरण 1

k को k+1 रखने पर सिद्ध करना है

2(k+1) + 7 <  (k+1+3)²

2k + 9 < (k+4)²

समीकरण 1 के दाएं पक्ष में 2k+5 जोड़ने पर

2(k+1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k+5

2k+9  < k² + 8k + 16

2k+9 < (k+4)²

अतः P(n), n = k+1 के लिए सत्य है |

इस प्रकार P(n), n ∈ N, n के सभी मानों लिए सत्य है |

More Question:

सभी n \in N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : 1+2+3+...+n\  \textless \ \dfrac{1}{8}(2n+1)^{2}.

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