Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1+3+3^{2}+...+3^{n-1}=\dfrac{(3^{n} - 1)}{2}$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की

$1+3+3^{2}+...+3^{n-1}=\dfrac{(3^{n} - 1)}{2}$

इसे हम पहले n=1 के लिए सिद्ध करके देखते हैं,

$1 = \frac{ {3}^{1} - 1 }{2} \\ \\ 1 = \frac{3 - 1}{2} \\ \\ 1 = 1$
तो यह n=1 के लिए सत्य है|

हम यह मान लेते हैं कि यह n=k के लिए भी सत्य है,

$1+3+3^{2}+...+3^{k-1}=\dfrac{(3^{k} - 1)}{2}$
अब हम इसे n =k+1 के लिए सत्यापित करेंगे,

$1+3+3^{2}+...+3^{k-1} + {3}^{k} =\dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \dfrac{(3^{k} - 1)}{2} + {3}^{k} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \frac{ {3}^{k} - 1 + 2. {3}^{k} }{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \frac{ 3.{3}^{k} - 1 }{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ LHS=RHS$
$n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध होता है : $1+3+3^{2}+...+3^{n-1}=\dfrac{(3^{n} - 1)}{2}$

Answer 2

सभी n \in Nn∈N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की

1+3+3^{2}+...+3^{n-1}=\dfrac{(3^{n} - 1)}{2}1+3+3

2

+...+3

n−1

=

2

(3

n

−1)

इसे हम पहले n=1 के लिए सिद्ध करके देखते हैं,

\begin{lgathered}1 = \frac{ {3}^{1} - 1 }{2} \\ \\ 1 = \frac{3 - 1}{2} \\ \\ 1 = 1 \\ \\\end{lgathered}

1=

2

3

1

−1

1=

2

3−1

1=1

तो यह n=1 के लिए सत्य है|

हम यह मान लेते हैं कि यह n=k के लिए भी सत्य है,

\begin{lgathered}1+3+3^{2}+...+3^{k-1}=\dfrac{(3^{k} - 1)}{2} \\ \\\end{lgathered}

1+3+3

2

+...+3

k−1

=

2

(3

k

−1)

अब हम इसे n =k+1 के लिए सत्यापित करेंगे,

\begin{lgathered}1+3+3^{2}+...+3^{k-1} + {3}^{k} =\dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \dfrac{(3^{k} - 1)}{2} + {3}^{k} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \frac{ {3}^{k} - 1 + 2. {3}^{k} }{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \frac{ 3.{3}^{k} - 1 }{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} = \dfrac{(3^{k + 1} - 1)}{2} \\ \\ LHS=RHS \\ \\\end{lgathered}

1+3+3

2

+...+3

k−1

+3

k

=

2

(3

k+1

−1)

2

(3

k

−1)

+3

k

=

2

(3

k+1

−1)

2

3

k

−1+2.3

k

=

2

(3

k+1

−1)

2

3.3

k

−1

=

2

(3

k+1

−1)

2

(3

k+1

−1)

=

2

(3

k+1

−1)

LHS=RHS

n \in Nn∈N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध होता है : 1+3+3^{2}+...+3^{n-1}=\dfrac{(3^{n} - 1)}{2}1+3+3

2

+...+3

n−1

=

2

(3

n

−1)