Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.3+3.5+5.7+...+(2n-1)(2n+1)=\dfrac{n(4n^{2} +6n-1)}{3}$.

Answer 1

i m not understand what is ur question

Answer 2

Answer:गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) = n€N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

  मान लीजिये

  P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 + .....+ (2n-1) (2n+1) = $\frac{n(4n^{2} + 6n -1)}{3}$

  यदि n = 1, बाँया पक्ष = 1 . 3 = 3

  दाँया पक्ष = $\frac{n(4n^{2} + 6n -1)}{3}$

                 = $\frac{1 . (4 . 1^{2}+6 . 1-1)}{3}$

                 = $\frac{4 + 6 - 1}{3}$

                 = $\frac{9}{3}$ = 3

∴P(n) , n = 1 के लिए सत्य है।

मान लेते है की यह k के लिए सत्य है

P(k) : 1.3+3.5+5.7+......+(2k-1) (2k+1)= $\frac{k(4k^{2} + 6k -1)}{3}$

(k+1) वाँ पद = [2(k+1)-1] [2(k+1)+1]

                 = (2k+1) (2k+3) को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

                    1.3+3.5+5.7+....+(2k-1)(2k+1) + (2k+1)(2k+3)

                    $\frac{k(4k^{2} + 6k -1)}{3}$ + (2k+1)(2k+3)

                    $\frac{4k^{3} + 6k^{2} - k + 3 (2k+1)(2k+3)}{3}$

                   

                    $\frac{4k^{3} + 6k^{2} - k + 3 (4k^{2} + 8k +3)}{3}$

                    $\frac{4k^{3} + 18k^{2} + 23k + 9}{3}$

                    $\frac{(k+1) (4k^{2} + 14k + 9)}{3}$

                    $\frac{(k+1) [4(k+1)^{2} + 6(k+1) - 1]}{3}$

P(n), n = k+1 के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) = n∈N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।