Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\left[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\left[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]$

गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध करने के लिए पहले हम n =1 के लिए सिद्ध करेंगे

$1.2 = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} \\ \\ 2 = \frac{6}{3} \\ \\ 2 = 2$
हम यह मान लेते हैं कि n =k के लिए यह नियम लागू होता है, अतः

$1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)=\left[\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\right]$

अब हम इसे n=k+1 के लिए सत्यापित करेंगे

$1.2+2.3+3.4+...+k(k+1) + (k + 1)(k + 2)=\left[\dfrac{(k + 1)(k+2)(k+3)}{3}\right] \\ \\ \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} \\ \\ \frac{k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)}{3} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} \\ \\ \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग से यह सिद्ध होता है कि सभी $n \in N$ के लिए यह सत्य है : $1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\left[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]$.