Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+...+n.3^n=\dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+...+n.3^n=\dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$

गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध करने के लिए पहले हम n =1 के लिए सिद्ध करेंगे

$1.3 = \dfrac{(2(1)-1)3^{1+1} + 3}{4} \\ \\ 3 = \frac{9 + 3}{4} \\ \\ 3 = 3$
गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार यह कथन n=k के लिए भी सत्य है;

$1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+...+k.3^k=\dfrac{(2k-1)3^{k+1} + 3}{4}...eq2$

गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार यह कथन n=k+1 के लिए भी सत्य है;
$1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+...+k.3^k + (k + 1). {3}^{(k + 1)} =\dfrac{(2(k + 1)-1)3^{k+1 + 1} + 3}{4} \\ \\ \dfrac{(2k-1)3^{k+1} + 3}{4} + (k + 1). {3}^{(k + 1)} =\dfrac{(2(k + 1)-1)3^{k+1 + 1} + 3}{4} \\ \\ \frac{ {3}^{k + 1} (2k - 1) + 3 + 4(k + 1). {3}^{k + 1} }{4} = \frac{(2k + 2 - 1)( {3}^{k + 2} ) + 3}{4} \\ \\ \frac{ {3}^{k + 1}(2k - 1 + 4k + 4) + 3 }{4} = \frac{(2k + 1) {3}^{k + 2} + 3}{4} \\ \\ \frac{ {3}^{k + 1}(6k + 3) + 3 }{4} = \frac{(2k + 1) {3}^{k + 2} + 3}{4} \\ \\ \frac{ {3}^{k + 1}3(2k + 1) + 3 }{4} = \frac{(2k + 1) {3}^{k + 2} + 3}{4} \\ \\\frac{ {3}^{k + 2}(2k + 1) + 3 }{4} = \frac{(2k + 1) {3}^{k + 2} + 3}{4}$

अतः यह सिद्ध होता है कि सभी $n \in N$ के लिए : $1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+...+n.3^n=\dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$
सत्य है|