Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

यह सत्यापित करने के लिए n=1, रखकर सिद्ध करके देखते हैं

$1.2.3 = \frac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4} \\ \\ 6 = \frac{1.2.3.4}{4} \\ \\ 6 = 6$
n=k के लिए

$1.2.3+2.3.4+...+k(k+1)(k+2)=\dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}...eq2$

n=k+1 के लिए

$1.2.3+2.3.4+...+k(k+1)(k+2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)=\dfrac{(k + 1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \\ \\ \dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \dfrac{(k + 1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \\ \\ \dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3) + 4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} = \dfrac{(k + 1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \\ \\ \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}{4} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}{4}$
गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा यह सिद्ध होता है की सभी $n \in N$ के लिए: $1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$