Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2$

इसे हम पहले n=1 के लिए सिद्ध करके देखते हैं,

$1^{3} = \left(\dfrac{1(1 + 1)}{2}\right)^2 \\ \\ 1 = \frac{2}{2} \\ \\ 1 = 1$
तो यह n=1 के लिए सत्य है|

हम यह मान लेते हैं कि यह n=k के लिए भी सत्य है,

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=\left(\dfrac{k(k + 1)}{2}\right)^2$

अब हम इसे n =k+1 के लिए सत्यापित करेंगे,

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\left(\dfrac{(k+1)(k + 2)}{2}\right)^2 \\ \\ \\ \\ \left(\dfrac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k+1)^{3}= \left(\dfrac{(k+1)(k + 2)}{2}\right)^2\\ \\ \left(\dfrac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k+1)^{3}= \left(\dfrac{(k+1)(k + 2)}{2}\right)^2 \\ \\ \frac{ {k}^{2} {(k + 1)}^{2} }{4} + {(k + 1)}^{3} = \frac{ {(k + 1)}^{2}( {k + 2)}^{2} }{4} \\ \\ \frac{ {k}^{2} ( {k}^{2} + 2k + 1) + 4( {k}^{3} + 1 + 3 {k}^{2} + 3k) }{4} = \frac{( {k}^{2} + 1 + 2k)( {k}^{2} + 4 + 4k) }{4} \\ \\ \frac{ {k}^{4} + 2 {k}^{3} + {k}^{2} + 4 {k}^{3} + 4 + 12 {k}^{2} + 12k }{4} = \frac{ {k}^{4} + 4 {k}^{2} + 4 {k}^{3} + {k}^{2} + 4 + 4k + 2 {k}^{3} + 8k + 8 {k}^{2} }{4} \\ \\ \frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{4} = \frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{4}$
$LHS=RHS$

गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा यह सिद्ध होता है की सभी $n \in N$ के लिए सत्य है$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2$.