Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1+\dfrac{1}{(1+2)}+\dfrac{1}{(1+2+3)}+...+\dfrac{1}{(1+2+3+...n)} = \dfrac{2n}{(n+1)}$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

मानलो के दिए गए कथन P(n) है , अर्थात

P(n) 1 + 1/ (1+2) + 1/ (1+2+3) + ... + 1/ (1+2+3+...n) = 2n/(n+1)

N = 1 के लिए, हमारे पास है

P(1) = 1 = 2.1/1+1 = 2/2 = 1 जो सही है।

P (k) कुछ धनात्मक पूर्णांक k के लिए सही है, अर्थात,  

P(k) 1 + 1/ (1+2) + 1/ (1+2+3) + ... + 1/ (1+2+3+...+k) = 2k/(k+1) .....(1)

अब हम साबित करेंगे कि P (k + 1) सत्य है।

मानलो के  

1 + 1/ (1+2) + 1/ (1+2+3) + ... + 1/ (1+2+3+...+k)+ 1/ (1+2+3+...+k+(k+1)

= [1 + 1/ (1+2) + 1/ (1+2+3) + ... + 1/ (1+2+3+...+k)] + 1/ (1+2+3+...+k+(k+1)

= 2k /k+1 +  1/ (1+2+3+...+k+(k+1)              ( [i] का उपयोग करके )

=2k /k+1 +  1/ ((k+1) (k+1+1)/2)                   (  1+2+3+...n = n(n+1)/2 )

= 2k /k+1 + 2 / (k+1) (k+2)

=  2 / (k+1) ( k + 1/K+2)

=  2 / (k+1) ( k (k+2) + 1 / K+2 )

= 2 / (k+1) ( k^2 + 2k +1 / k+2 )

= 2 x ( k + 1 )^2 / (k+1) (k+2)

= 2 x (k+1)/ (k+2)

इस प्रकार, P (k + 1) भी सत्य है जब P (k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धांत से, कथन P (n) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है | ( अर्थात, n  )