Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{8.11}+...+\dfrac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\dfrac{n}{(6n+4)}$.

Answer 1

Answer:  गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।



Step-by-step explanation:

माना

P(n) : $\frac{1}{2.5}$ + $\frac{1}{5.8}$ + $\frac{1}{8.11}$ + ..... + $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ = $\frac{n}{6n+4}$

यदि n =1, बायाँ पक्ष = $\frac{1}{2.5}$  = $\frac{1}{10}$

दायाँ पक्ष = $\frac{n}{6n+4}$   = $\frac{1}{6+4}$  = $\frac{1}{10}$

P(n), n=1 के लिए सत्य है।

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है।

$\frac{1}{2.5}$ + $\frac{1}{5.8}$ + $\frac{1}{8.11}$ + ..... + $\frac{4}{(3k-1)(3k+2)}$ = $\frac{k}{6k+4}$

(k+1) वाँ पद = $\frac{k}{[3(k+1)-1] [3(k+1)+2]}$

                 = $\frac{k}{(3k+2) (3k+5)}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\frac{1}{2.5}$ + $\frac{1}{5.8}$ + $\frac{1}{8.11}$ + ..... + $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ + $\frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$

                 = $\frac{k}{6k+4}$ + $\frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$

                 = $\frac{k(3k+5)+2}{2(3k+2)(3k+5)}$

                 = $\frac{3k^{2}+5k+2}{2(3k+2)(3k+5)}$

                 = $\frac{(3k+2)(k+1)}{2(3k+2)(3k+5)}$

                 = $\frac{k+1}{6k+10}$

                 =$\frac{k+1}{6(k+1)+4}$

P(n), n = k+1 के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।