Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\left(1+\dfrac{3}{1}\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right)...\left(1+\dfrac{(2n+1)}{n^{2}}\right)=(n+1)}^2$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

(I)  माना कि  

$P(n)=\left(1+\dfrac{3}{1}\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right)...\left(1+\dfrac{(2n+1)}{n^{2}}\right)=(n+1)}^2$

(II)  सिद्ध करना है कि  P(1)  सत्य है  , n= 1  के लिए  

$R.H.S.=(n+1)^{2}=(1+1)^{2}=4=(1+3/1)=T_{1}$

अतः P(1)  सत्य है।  

(III)  माना कि  P(k)  भी सत्य होगा। या  

$(1+\dfrac{3}{1} )\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right)...\left(1+\dfrac{(2k+1)}{k^{2}}\right)=(k+1)}^2$

(IV)  सिद्ध करना है कि  P(k+1)  सत्य है। या  

$(1+\dfrac{3}{1} )\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right)...\left(1+\dfrac{(2k+3)}{(k+1)^{2}}\right)=(k+2)}^2$

$L.H.S.=(1+\dfrac{3}{1} )\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right)...\left(1+\dfrac{(2k+3)}{(k+1)^{2}}\right)\\\\=(k+1)^{2}[1+\frac{2k+3}{(k+1)^{2}} ]\\\\=(k+1)^{2}[\frac{(k+1)^{2}+2k+3}{(k+1)^{2}} \\\\=(k+1)[\frac{k^{2}+2k+1+2k+3}{(k+1)^{2}} ]\\\\=(k+1)^{2}[\frac{k^{2}+4k+4}{(k+1)^{2}} ]\\\\=k^{2}+4k+4\\\\=(k+2)^{2}\\\\=R.H.S.$

अतः   P(k+1)  सत्य है।  

(V) जब  P(n) , n = 1   तथा  n =k+1  के लिए सत्य है तो यह  n= k के लिए भी सत्य होगा जबकि n∈N