Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}=\dfrac{a(r^{n}-1 )}{r-1}$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

(I)  माना कि  

$P(n)=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}=\dfrac{a(r^{n}-1 )}{r-1}$

(II)  सिद्ध करना है कि  P(1)  सत्य है | ∴  n=1   के लिए  

$R.H.S.=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} =\frac{a(r-1)}{r-1} =a=T_{1}$

अतः  P(1)  सत्य है।  

(III)  माना कि  P(k) भी सत्य होगा। या  

$a+ar+ar^{2}+...+ar^{k-1}=\dfrac{a(r^{k}-1 )}{r-1}$

(IV)  सिद्ध करना है कि  P(k+1) सत्य है। या  

$a+ar+ar^{2}+...+ar^{k}=\dfrac{a(r^{k+1}-1 )}{r-1}$

$L.H.S.=a+ar+ar^{2}+...+ar^{k}\\\\=\frac{a(r^{k}-1)}{r-1} +ar^{k}\\\\=\frac{a(r^{k}-1)+ar^{k}(r-1)}{r-1} \\\\=\frac{ar^{k}-a+ar^{k+1}-ar^{k}}{r-1} \\\\=\frac{ar^{k+1}-a}{r-1} \\\\=\frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1} \\\\=R.H.S.$

अतः  P(k+1)  सत्य है।  

(V)  जब P(n), n=1   तथा  n=k+1  के लिए सत्य है तो यह  n = k के लिए भी सत्य होगा जबकि n∈N