Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.

Answer 1

Answer:  गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

माना P(n) : $\frac{1}{1.2.3}$ + $\frac{1}{2.3.4}$ + $\frac{1}{3.4.5}$ + ..... + $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ = $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = $\frac{1}{1.2.3}$

                                  = $\frac{1}{6}$

दायाँ पक्ष = $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

              = $\frac{1.4}{4.2.3}$ = $\frac{1}{6}$

∴  P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है।

∴ $\frac{1}{1.2.3}$ + $\frac{1}{2.3.4}$ + $\frac{1}{3.4.5}$ + ..... + $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ = $\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$

(k+1) वाँ पद = $\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\frac{1}{1.2.3}$ + $\frac{1}{2.3.4}$ + $\frac{1}{3.4.5}$ + ..... + $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ + $\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$ + $\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ $\left[\begin{array}{ccc}\frac{k(k+3)}{4}+\frac{1}{k+3}\end{array}\right]$

                  = $\frac{k(k+3)^{2}+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{k(k^{2}+6k+9)+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{k^{3}+6k^{2}+9k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{(k+1)(k^{2}+5k+4)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{(k+4)(k+1)}{4(k+2)(k+3)}$

                  = $\frac{(k+1)[(k+1)+ 3]}{4[(k+1) +1] [(k+1) +2)]}$

 

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।