Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

Answer 1

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

यह सत्यापित करने के लिए n=1, रखकर सिद्ध करके देखते हैं

$1^{2} =\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \\ \\ 1= \frac{1.(2-1).(2+1)}{3} \\ \\ 1=1$

n=k के लिए

$1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2k-1)^{2}=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

n=k+1 के लिए

$1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2k-1)^{2}+(2(k+1)-1)^{2}=\dfrac{(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3}\\ \\ \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \\ \dfrac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^{2}}{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3}$
$\\ \dfrac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^{2}}{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \\ \frac{(2k + 1)(k(2k - 1) + 3(2k + 1)}{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \\ \frac{(2k + 1)(2 {k}^{2} + 5k + 3) }{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \\ \frac{(2k + 1)(2 {k}^{2} + 2k + 3k+ 3) }{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \\ \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3} = \dfrac{(k + 1)(2k+1)(2k+3)}{3}$


गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा यह सिद्ध होता है की सभी $n \in N$ के लिए: $1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$