Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)...\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=(n+1)$.

Answer 1

Proof :

Using the principle of induction, we prove the given statement.

Let us consider that the statement is P(n).

P(1) is true ,

since $\mathsf{(1+\frac{1}{1})=1+1}$

Let, P(k) is true.

Then,

$\mathsf{(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})...(1+\frac{1}{k})=(k+1)}$

is true.

Now, P(k+1)

= $\mathsf{(1+\frac{1}{1})...(1+\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k+1})}$

= $\mathsf{(k+1)(1+\frac{1}{k+1})}$

= $\mathsf{(k+1)(\frac{k+1+1}{k+1})}$

= k + 1 + 1

= (k + 1) + 1

Hence, P(k + 1) is true when P(k) is true.

Thus, proved.

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

I )  माना कि  

$P(n)=(1+\frac{1}{1} )(1+\frac{1}{2} ) (1+\frac{1}{3} ).....(1+\frac{1}{n} )=(n+1)$

II) सिद्ध करना है कि   P(1)  सत्य है  ,  n = 1  के लिए  

$R.H.S.=(n+1)=(1+1)=(1+\frac{1}{1} )=T_{1}$

अतः  P(1)  सत्य है।  

III)  माना कि  P(k) भी सत्य होगा। या  

$(1+\frac{1}{1} )(1+\frac{1}{2} ) (1+\frac{1}{3} ).....(1+\frac{1}{k} )=(k+1)$

IV)  सिद्ध करना है कि  P(k+1)  सत्य है। या  

$(1+\frac{1}{1} )(1+\frac{1}{2} ) (1+\frac{1}{3} ).....(1+\frac{1}{k+1} )=(k+2)$

$L.H.S.=(1+\frac{1}{1} )(1+\frac{1}{2} ) (1+\frac{1}{3} ).....(1+\frac{1}{k+1} )\\=(k+1)[1+\frac{1}{k+1} ]\\=(k+1)[\frac{k+1+1}{k+1} ]\\=(k+1)[\frac{k+2}{k+1} ]\\=k+2\\=R.H.S.$

अतः  P(k+1) सत्य है।  

 

V)  जब  P(n), n = 1  तथा  n = k+1  के लिए सत्य है तो यह  n=k के लिए भी सत्य होगा जबकि  n∈N